[论文解读] Calabi-Yau manifolds with isolated conical singularities

Hans‐Joachim Hein, Song Sun|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 53被引用 12

一句话总结

该论文确定了具有孤立锥形奇点的射影Calabi-Yau流形上唯一奇异Calabi-Yau度量的渐近行为，证明在特定几何条件下，该度量在每个奇点附近以多项式速率收敛于一个里奇平坦的凯勒锥度量。关键结果是首次构造出具有非轨道型锥形奇点的紧致里奇平坦流形，其作为光滑Calabi-Yau族的极限实现。

ABSTRACT

Let $X$ be a complex projective variety with only canonical singularities and with trivial canonical bundle. Let $L$ be an ample line bundle on $X$. Assume that the pair $(X,L)$ is the flat limit of a family of smooth polarized Calabi-Yau manifolds. Assume that for each singular point $x \in X$ there exist a Kahler-Einstein Fano manifold $Z$ and a positive integer $q$ dividing $K_Z$ such that $-\frac{1}{q}K_Z$ is very ample and such that the germ $(X,x)$ is locally analytically isomorphic to a neighborhood of the vertex of the blow-down of the zero section of $\frac{1}{q}K_{Z}$. We prove that up to biholomorphism, the unique weak Ricci-flat Kahler metric representing $2πc_1(L)$ on $X$ is asymptotic at a polynomial rate near $x$ to the natural Ricci-flat Kahler cone metric on $\frac{1}{q}K_Z$ constructed using the Calabi ansatz. In particular, our result applies if $(X, \mathcal{O}(1))$ is a nodal quintic threefold in $\mathbb{P}^4$. This provides the first known examples of compact Ricci-flat manifolds with non-orbifold isolated conical singularities.

研究动机与目标

• 理解高维Calabi-Yau流形中孤立锥形奇点附近奇异Calabi-Yau度量的精确渐近行为。
• 确定在奇点处的Gromov-Hausdorff切锥是否与已知的里奇平坦凯勒锥度量一致。
• 建立在光滑族极限下，奇异Calabi-Yau流形上弱里奇平坦凯勒度量的存在性与唯一性。
• 将丘成桐对Calabi猜想的解法推广至具有非轨道型奇点的奇异Calabi-Yau流形。
• 提供首个已知的具有孤立锥形奇点但非轨道型的紧致里奇平坦流形的例子。

提出的方法

• 使用连续法在奇异流形的解析展开上构造一维参数族的凯勒度量。
• 在具有孤立锥形奇点的流形上应用加权索伯列夫与赫尔德估计，以控制复蒙日-安培方程解的行为。
• 通过全局加权赫尔德正则性及锥形流形上泊松方程有界解，证明连续法的开性。
• 通过在全纯规范下以多项式收敛性证明最终时刻的极限度量的切锥与给定的里奇平坦凯勒锥度量微分同构，从而建立闭性。
• 利用丘的构造法，在凯勒爱因斯坦法诺流形上全纯线丛 $\frac{1}{q}K_Z$ 的全空间上构造模型里奇平坦凯勒锥度量。
• 利用一族光滑极化Calabi-Yau流形的平坦极限，确保奇异流形位于模空间的边界上。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从奇异流形及其线丛的几何结构，事先确定Calabi-Yau流形中孤立锥形奇点处的Gromov-Hausdorff切锥？
• RQ2 在具有孤立锥形奇点的可形变Calabi-Yau流形上，奇异Calabi-Yau度量是否以多项式速率渐近收敛于一个模型里奇平坦凯勒锥度量？
• RQ3 在何种条件下，具有非轨道型锥形奇点的奇异Calabi-Yau流形会允许存在唯一的弱里奇平坦凯勒度量？
• RQ4 具有孤立锥形奇点的Calabi-Yau流形在奇点处的切锥是否微分同构于通过丘构造法在 $\frac{1}{q}K_Z$ 全空间上构造的里奇平坦凯勒锥度量？
• RQ5 能否用凯勒爱因斯坦法诺流形上全纯线丛 $\frac{1}{q}K_Z$ 的爆破图的几何结构来描述奇异Calabi-Yau度量的渐近行为？

主要发现

• 奇异Calabi-Yau流形上唯一的弱里奇平坦凯勒度量在每个孤立锥形奇点附近以多项式速率收敛于模型里奇平坦凯勒锥度量。
• 每个奇点处的切锥微分同构于通过丘构造法在凯勒爱因斯坦法诺流形 $Z$ 的 $\frac{1}{q}K_Z$ 全空间上构造的里奇平坦凯勒锥度量。
• 渐近模型由奇点的局部解析类型唯一确定，其微分同构于 $\frac{1}{q}K_Z$ 的零截面爆破后的顶点。
• 该结果适用于 $\mathbb{P}^4$ 中的节点型五次三复流形，提供了首个已知的具有非轨道型孤立锥形奇点的紧致里奇平坦流形例子。
• 收敛性在全纯规范下建立，具有多项式衰减率，确保对奇异集附近度量行为的精确控制。
• 证明依赖于连续法，其开性与闭性通过在锥形奇点上应用加权索伯列夫与赫尔德估计得以确立。