[论文解读] Characterization of Non-Deterministic Quantum Query and Quantum Communication Complexity

Ronald de Wolf|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2000

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 47被引用 5

一句话总结

本文建立了非确定性量子查询复杂度与非确定性多项式次数之间的线性关系，以及非确定性通信复杂度与非确定性通信矩阵的秩的对数之间的线性关系。研究在总布尔函数的查询和通信复杂度设置中，展示了指数级的量子-经典复杂度差距。

ABSTRACT

It is known that the classical and quantum query complexities of a total Boolean function f are polynomially related to the degree of its representing polynomial, but the optimal exponents in these relations are unknown. We show that the non-deterministic quantum query complexity of f is linearly related to the degree of a “non-deterministic ” polynomial for f. We also prove a quantum-classical gap of 1 vs. n for non-deterministic query complexity for a total f. In the case of quantum communication complexity there is a (partly undetermined) relation between the complexity of f and the logarithm of the rank of its communication matrix. We show that the non-deterministic quantum communication complexity of f is linearly related to the logarithm of the rank of a non-deterministic version of the communication matrix. We also exhibit an exponential quantum-classical gap for non-deterministic communication complexity.

研究动机与目标

• 将非确定性量子查询复杂度与表示总布尔函数的非确定性多项式的次数进行表征。
• 研究非确定性量子通信复杂度与非确定性通信矩阵的秩的对数之间的关系。
• 在总函数的非确定性查询与通信模型中，建立量子-经典复杂度差距。
• 通过将其与代数和线性代数度量联系起来，阐明非确定性在量子复杂度理论中的作用。

提出的方法

• 引入布尔函数 f 的非确定性多项式概念，其中每个单项式对应一个有效的非确定性证书。
• 将非确定性量子查询复杂度定义为所有有效非确定性证书中量子查询成本的最小值。
• 建立非确定性量子查询复杂度与表示 f 的非确定性多项式次数之间的线性关系。
• 通过允许每对输入对应多个有效条目，构建通信矩阵的非确定性版本。
• 将非确定性量子通信复杂度定义为所有有效非确定性证书中量子通信成本的最小值。
• 证明非确定性量子通信复杂度与非确定性通信矩阵秩的对数之间存在线性关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于总布尔函数，非确定性量子查询复杂度与非确定性多项式的次数之间有何关系？
• RQ2 能否在总函数的非确定性查询复杂度中展示出量子-经典差距？
• RQ3 非确定性量子通信复杂度与非确定性通信矩阵的秩之间存在何种关系？
• RQ4 对于总函数，是否存在量子与经典非确定性通信复杂度之间的指数级差距？

主要发现

• 非确定性量子查询复杂度与表示函数 f 的非确定性多项式的次数呈线性关系。
• 对于总布尔函数，非确定性查询复杂度中存在 1 与 n 之间的量子-经典差距。
• 非确定性量子通信复杂度与非确定性通信矩阵秩的对数呈线性关系。
• 在总函数的非确定性通信复杂度中，表现出指数级的量子-经典差距。
• 研究结果建立了非确定性量子复杂度度量的紧致代数与线性代数表征。