[论文解读] Circuits, Bond Graphs, and Signal-Flow Diagrams: A Categorical Perspective

Brandon Coya|arXiv (Cornell University)|May 21, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文提出了一种使用范畴论中的“prop”来统一并形式化电气电路、信号流图和 bond 图作为组合结构的范畴框架。通过将每种结构建模为一个 prop 中的态射——其中复合与张量积分别代表串联与并联连接——证明了黑箱化（抽象内部结构）会产生从一个 prop 到另一个 prop 的态射，关键结果包括关于电路和 bond 图行为的余关系（corelations）与拉格朗日关系（Lagrangian relations）的结论。

ABSTRACT

We use the framework of "props" to study electrical circuits, signal-flow diagrams, and bond graphs. A prop is a strict symmetric monoidal category where the objects are natural numbers, with the tensor product of objects given by addition. In this approach, electrical circuits make up the morphisms in a prop, as do signal-flow diagrams, and bond graphs. A network, such as an electrical circuit, with $m$ inputs and $n$ outputs is a morphism from $m$ to $n$, while putting networks together in series is composition, and setting them side by side is tensoring. Here we work out the details of this approach for various kinds of electrical circuits, then signal-flow diagrams, and then bond graphs. Each kind of network corresponds to a mathematically natural prop. We also describe the "behavior" of electrical circuits, bond graphs, and signal-flow diagrams using morphisms between props. To assign a behavior to a network we "black box" the network, which forgets its inner workings and records only the relation it imposes between inputs and outputs. The process of black-boxing a network then corresponds to a morphism between props. Interestingly, there are two different behaviors for any bond graph, related by a natural transformation. To achieve all of this we first prove some foundational results about props. These results let us describe any prop in terms of generators and equations, and also define morphisms of props by naming where the generators go and checking that relevant equations hold. Technically, the key tools are the Rosebrugh--Sabadini--Walters result relating circuits to special commutative Frobenius monoids, the monadic adjunction between props and signatures, and a result saying which symmetric monoidal categories are equivalent to props.

研究动机与目标

• 在统一的范畴框架下，形式化处理电气电路、信号流图与 bond 图。
• 利用 prop 的数学结构，形式化网络化系统的组合性质。
• 将“黑箱化”过程定义并分析为从一个 prop 到另一个 prop 的态射，以捕捉输入-输出行为。
• 建立 bond 图具有两种不同但相关联的行为，并通过自然变换建立其关联。
• 为在对称单峰范畴中使用生成元、关系与普遍性质来推理网络化系统，提供理论基础。

提出的方法

• 使用“prop”的数学框架——即对象为自然数、张量积为加法的严格对称单峰范畴。
• 将电气电路、信号流图与 bond 图分别建模为不同 prop 中的态射，其中复合表示串联，张量积表示并联。
• 应用 Rosebrugh–Sabadini–Walters 的结果，通过余关系将电路与特殊交换 Frobenius 代数联系起来。
• 利用签名与 prop 之间的单峰伴随关系，通过生成元与方程来表示每类网络结构。
• 使用余关系来建模电路与 bond 图中的互连，从而实现结构与行为之间的对偶性。
• 将黑箱化定义为从网络的 prop 到行为的 prop 的函子，使用线性关系或拉格朗日关系来捕捉输入-输出动力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将电气电路、信号流图与 bond 图统一建模为对称单峰范畴中的态射？
• RQ2 何种范畴结构能够捕捉具有输入与输出的网络的组合行为？
• RQ3 黑箱化过程（抽象内部细节）如何对应于 prop 之间的态射？
• RQ4 为何 bond 图具有两种不同但相关联的行为，它们通过何种自然变换相互关联？
• RQ5 何种普遍性质或表示定理可实现对这些网络理论性 prop 的系统性构造？

主要发现

• 由电阻、电感与电容构成的电气电路可建模为一个 prop 中的态射，其行为由输入与输出变量之间的线性关系捕捉。
• L-电路的 prop 通过电阻、电感、电容与导线的生成元，以及编码基尔霍夫定律与欧姆定律的方程来表示。
• 仅由理想导线构成的电路对应于余关系，其行为由 FinCorel 的 prop 捕获，该 prop 与特殊交换 Frobenius 代数的 prop 等价。
• 信号流图被形式化为一个其行为由线性关系描述的 prop 中的态射，黑箱化产生一个到线性关系 prop 的对称单峰函子。
• bond 图被建模为余关系，同时也被建模为拉格朗日关系，两种行为通过自然变换关联，揭示了其物理解释中的对偶性。
• 本文证明，当一个带类型的 Lawvere 理论由一个彩色操作代数（如 prop 的情形）产生时，通过单射添加生成元可保持单性，从而确保结构扩展不会使代数结构坍塌。