[论文解读] Classical Machian Resolution of the Spacetime Reconstruction Problem

Edward Anderson, Flavio Mercati|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 49被引用 32

一句话总结

本文通过从关系动力学推导广义相对论的哈密顿约束，提出了一种经典的马赫式时空重建解决方案——仅以空间为基本要素，不预先假定时空的存在。采用系统的狄拉克型分析方法，结合泊松括号，证明动力学的一致性唯一地选择了四种可能性：洛伦兹、伽利略或卡鲁扎-爱因斯坦相对论，或常平均曲率切片，其中后者自然地作为与标准时空对称性同等地位的动力学选项出现。

ABSTRACT

Following from a question of Wheeler, why does the Hamiltonian constraint ${\cal H}$ of GR have the particular form it does? A first answer, by Hojman, Kuchař and Teitelboim, is that using embeddability into spacetime as a principle gives the form of ${\cal H}$. The present paper culminates a second Machian answer - initially by Barbour, Foster and ó Murchadha - in which space but not spacetime are assumed. Thus this answer is additionally a classical-level resolution of the spacetime reconstruction problem. In this approach, mere consistency imposed by the Dirac procedure whittles down a general ansatz to one of four alternatives: Lorentzian, Galilean, or Carrollian relativity, or constant mean curvature slicing. These arise together as the different ways to kill off a 4-factor obstruction term. It is novel for such an alternative to arise from principles of dynamics considerations (in contrast with the historical form of the dichotomy between universal local Galilean or Lorentzian relativity). It is furthermore intriguing that it gives constant mean curvature slicing - familiar from York's work on the initial value problem -- as a further option on a similar footing. That is related to a number of recent alternative theories/formulations of GR known collectively as `shape dynamics'. The original work did not treat this with Poisson brackets and a proper systematic Dirac-type analysis; we rectify this in this paper. It is also the first demonstration of how this approach solves the classical spacetime reconstruction problem via `hypersurface tensor dual nationality' and what can be interpreted as embedding equations arising.

研究动机与目标

• 通过动力学原理推导广义相对论中哈密顿约束的形式，不预先假定时空的存在。
• 基于巴尔伯-福斯特-奥·默查达的关系方法，提供一个经典层次的马赫式解释，说明为何哈密顿约束具有其特定形式。
• 通过在关系动力学框架中应用严格的狄拉克型约束分析与正确的泊松括号结构，纠正早期工作的不足。
• 证明四种可能的对称结构——洛伦兹、伽利略、卡鲁扎-爱因斯坦或常平均曲率切片——作为动力学中一个四因子障碍项的自然解出现。
• 表明所得到的方程在通过超曲面张量对偶性解释时，能重现真空爱因斯坦场方程，且可对时空四维联络提供物理解释。

提出的方法

• 基于关系动力学，提出一个关于哈密顿约束的一般假设，仅以三维空间几何为基本要素，不预先假定时空流形。
• 应用狄拉克程序以确保约束的一致性，利用泊松括号系统性地消除非物理自由度。
• 在约束代数中识别出一个必须消除的四因子障碍项，从而导致四种不同的动力学替代方案。
• 表明所得到的方程在通过超曲面张量对偶性解释时，能重现真空中的爱因斯坦场方程：$G^{(4)}_{\mu\nu} = 0$。
• 通过最佳匹配程序和超曲面投影，从空间几何数据重构时空四维联络。
• 证明常平均曲率切片（如 York 初始值问题中所熟知）自然地作为与标准时空对称性同等地位的动力学解出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不预先假定时空的前提下，从动力学原理推导广义相对论的哈密顿约束？
• RQ2 若仅以空间为基本要素，且无预先存在的时空结构，其动力学后果为何？
• RQ3 为何约束代数恰好导致四种可能的对称结构：洛伦兹、伽利略、卡鲁扎-爱因斯坦或常平均曲率切片？
• RQ4 能否仅从空间几何数据与关系动力学重构时空四维联络与曲率？
• RQ5 通过最佳匹配与嵌入方程的关系方法，如何在不预先假定四维时空流形的前提下重现爱因斯坦场方程？

主要发现

• 在关系动力学下，对哈密顿约束的一般假设应用狄拉克程序，唯一地将可能性缩减为四种：洛伦兹、伽利略或卡鲁扎-爱因斯坦相对论，或常平均曲率切片。
• 常平均曲率切片并非作为规范选择出现，而是作为与标准时空对称性同等地位的动力学解，源于对四因子障碍项的消除。
• 通过关系方法，真空爱因斯坦场方程被成功恢复，其中 $G^{(4)}_{\mu\nu} = 0$ 由约束一致性和嵌入方程导出。
• 时空四维联络从空间数据中被重构，其分量如 $\Gamma^{(4)}{}^{c}{}_{ab} = \Gamma^{c}{}_{ab}$ 和 $\Gamma^{(4)}{}^{\perp}{}_{ab} = K_{ab}$，显示出空间几何与时空结构之间的自然联系。
• 证明作用量 $\int \int_{\Sigma} \sqrt{\bar{R}} \, \textrm{d}^{3}x \, \textrm{d}s$ 等价于 ADM 形式下的爱因斯坦-希尔伯特作用量，确认了关系表述的动力学等价性。
• 本文确立了时空四维曲率与联络可从空间关系动力学出发完全推导，为四维联络提供了基于空间曲率与嵌入约束的物理解释。