[论文解读] Classical symmetries and QAOA

Ruslan Shaydulin, Stuart Hadfield+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 60被引用 15

一句话总结

本文建立了目标函数的经典对称性与QAOA量子动力学之间的正式联系，表明经典问题中的对称性会导致QAOA测量概率保持不变，无论参数或电路深度如何。它展示了仅凭图的对称性特性，即可预测在线性参数调度下实现目标MaxCut近似比所需的最小QAOA深度。

ABSTRACT

We study the relationship between the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) and the underlying symmetries of the objective function to be optimized. Our approach formalizes the connection between quantum symmetry properties of the QAOA dynamics and the group of classical symmetries of the objective function. The connection is general and includes but is not limited to problems defined on graphs. We show a series of results exploring the connection and highlight examples of hard problem classes where a nontrivial symmetry subgroup can be obtained efficiently. In particular we show how classical objective function symmetries lead to invariant measurement outcome probabilities across states connected by such symmetries, independent of the choice of algorithm parameters or number of layers. To illustrate the power of the developed connection, we apply machine learning techniques towards predicting QAOA performance based on symmetry considerations. We provide numerical evidence that a small set of graph symmetry properties suffices to predict the minimum QAOA depth required to achieve a target approximation ratio on the MaxCut problem, in a practically important setting where QAOA parameter schedules are constrained to be linear and hence easier to optimize.

研究动机与目标

• 正式建立目标函数经典对称性与QAOA动力学中量子对称性特性之间的关系。
• 识别经典对称性如何独立于算法参数或电路深度，约束QAOA测量结果的概率。
• 研究图的对称性特性是否可作为QAOA性能的预测特征，特别是在受限优化设置中。
• 评估基于对称性特征训练的机器学习模型在预测实现目标MaxCut近似比所需最小QAOA深度方面的有效性。
• 展示基于对称性的预测在实际QAOA应用中的实用价值，特别是在线性参数调度设置下。

提出的方法

• 正式建立目标函数经典对称性群与QAOA酉演化量子对称性特性之间的联系。
• 推导出测量结果概率在经典对称性诱导的变换下保持不变，无论QAOA参数或层数如何。
• 提取图对称性特征（例如，自同构群特性）作为机器学习模型的输入，用于预测QAOA性能。
• 在对称性特征上训练监督式机器学习模型，以预测达到指定MaxCut近似比所需的最小QAOA层数。
• 在QAOA参数调度被限制为线性函数的受限设置中应用模型，简化优化过程并提升实用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 目标函数的经典对称性如何影响QAOA中的量子动力学与测量结果？
• RQ2 图的自同构群对称性特性能否预测实现MaxCut目标近似比所需的最小QAOA深度？
• RQ3 在受限线性参数调度下，基于对称性的特征在多大程度上优于其他特征，以预测QAOA性能？
• RQ4 测量结果概率在经典对称性变换下的不变性是否独立于QAOA参数值和电路深度而成立？
• RQ5 基于对称性特征训练的机器学习模型能否在具有不同对称结构的各类MaxCut实例间实现泛化？

主要发现

• 目标函数的经典对称性导致QAOA测量结果概率保持不变，无论层数多少或参数如何选择。
• 一组少量的图对称性特性——特别是与自同构群相关的特性——足以预测实现目标MaxCut近似比所需的最小QAOA深度。
• 数值证据表明，即使在QAOA参数调度为线性的约束下，基于对称性的机器学习模型仍能实现出色的预测性能。
• 测量结果概率在对称性变换下的不变性在所有QAOA参数值和电路深度下均普遍成立。
• 所提出的基于对称性的方法可在无需完整电路优化的情况下高效预测QAOA性能，从而在实际应用中降低计算成本。
• 结果表明，对称性考虑可作为结构化优化问题中QAOA性能预测的有力、低维代理。