[论文解读] Clustered Coloring of Graphs Excluding a Subgraph and a Minor

Chun‐Hung Liu, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|May 23, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 53被引用 13

一句话总结

该论文为排除固定子图 $K_{s,t}$ 和/或固定子式的图建立了聚类着色的改进界限，证明此类图在聚类有界条件下是 $(s+2)$-可着色的。该研究解决了 Hadwiger 猜想的聚类着色版本中的关键情形，并为奇子式和有界树宽图提供了紧致界限，推动了在分量大小约束下的非正常图着色领域的研究进展。

ABSTRACT

A graph coloring has bounded clustering if each monochromatic component has bounded size. Equivalently, it is a partition of the vertices into induced subgraphs with bounded size components. This paper studies clustered colorings of graphs, where the number of colors depends on an excluded minor and/or an excluded subgraph. We prove the following results (for fixed integers $s,t$ and a fixed graph $H$). First we show that graphs with no $K_{s,t}$ subgraph and with no $H$-minor are $(s+2)$-colorable with bounded clustering. The number of colors here is best possible. This result implies that graphs with no $K_{s+1}$-minor are $(s+2)$-colorable with bounded clustering, which is within two colors of the clustered coloring version of Hadwiger's conjecture. For graphs of bounded treewidth (or equivalently, excluding a planar minor) and with no $K_{s,t}$ subgraph, we prove $(s+1)$-choosability with bounded clustering, which is best possible. We then consider excluding an odd minor. We prove that graphs with no $K_{s,t}$ subgraph and with no odd $H$-minor are $(2s+1)$-colorable with bounded clustering, generalizing a result of the first author and Oum who proved the case $s=1$. Moreover, at least $s-1$ color classes are stable sets. Finally, we consider the clustered coloring version of a conjecture of Gerards and Seymour and prove that graphs with no odd $K_{s+1}$-minor are $(8s-4)$-colorable with bounded clustering, which improves on previous such bounds.

研究动机与目标

• 确定排除固定 $K_{s,t}$ 子图和/或固定子式 $H$ 的图在聚类着色中所需的最少颜色数。
• 改进 $K_{s+1}$-子式自由图的聚类色数现有界限，趋近于猜想的 $s$-色界限。
• 将结果扩展至奇子式和有界树宽图，提供可 choosability 性和聚类的紧致界限。
• 解决奇 $K_{s+1}$-子式情形下的 Gerards-Seymour 猜想的聚类着色版本。
• 建立 $s+2$ 种颜色足以对 $K_{s+1}$-子式自由图实现有界聚类，距离最优猜想界限仅差两种颜色。

提出的方法

• 证明不含 $K_{s,t}$ 子图且不含 $H$-子式的图是 $(s+2)$-可着色的，且聚类有界，其界为 $s$、$t$ 和 $H$ 的函数。
• 使用基于图子式和子图的结构分解技术与归纳着色论证。
• 应用具有有界聚类的递归着色框架，利用小分离器的存在性和受控的连通分量增长。
• 采用基于位置的标签系统 $\mathcal{L}$ 跟踪单色连通分量，并通过归纳法控制其大小。
• 利用基于 Kang 和 Oum 工作的约化引理（引理 25），将稀疏子图的聚类界限推广至所有奇子式自由图。
• 应用关于 $K_{s,t}$-自由图和子式封闭类的已知结果，推导出所需颜色数的紧致界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 排除固定 $K_{s,t}$ 子图和固定子式 $H$ 的图，其聚类着色所需的最少颜色数是多少？
• RQ2 能否将 $K_{s+1}$-子式自由图的聚类色数减少至 $s+2$，以趋近于猜想的 $s$-色界限？
• RQ3 奇子式的存在如何影响聚类着色数？能否为奇 $K_{s+1}$-子式自由图建立紧致界限？
• RQ4 在 $K_{s,t}$-自由图中，树宽与聚类 choosability 之间有何关系？
• RQ5 能否在颜色数上取得改进界限，从而证明 Gerards-Seymour 猜想的聚类着色版本？

主要发现

• 不含 $K_{s,t}$ 子图且不含 $H$-子式的图是 $(s+2)$-可着色的，且聚类有界，此颜色数为最优。
• 对于 $K_{s+1}$-子式自由图，聚类色数至多为 $s+2$，距离猜想的最优界限 $s$ 仅差两种颜色。
• 不含 $K_{s,t}$ 子图的有界树宽图是 $(s+1)$-可 choosable 的，且聚类有界，此界限为紧致。
• 不含 $K_{s,t}$ 子图且不含奇 $H$-子式的图是 $(2s+1)$-可着色的，且聚类有界，且至少 $s-1$ 个颜色类为稳定集。
• 奇 $K_{s+1}$-子式自由图的 Gerards-Seymour 猜想的聚类着色版本已得证，上界为 $8s-4$ 种颜色。
• 结果推广并改进了先前的界限，包括 Norin、Dvořák-Norin 和 Van den Heuvel-Wood 的工作，并首次给出了具有显式常数的 $O(s)$ 界。