[论文解读] Coarse-Graining Open Markov Processes

John C. Baez, Kenny Courser|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2017

Petri Nets in System Modeling参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过引入一个对称单oidal双范畴，将粗粒化推广至开放马尔可夫过程，其中2-态射表示开放马尔可夫过程之间的粗粒化映射。证明了黑箱化——将开放过程映射为输入/输出流量之间线性关系的函子——尊重粗粒化，从而实现通过简化、抽象化的模型对复杂系统进行组合式分析。

ABSTRACT

Coarse-graining is a standard method of extracting a simple Markov process from a more complicated one by identifying states. Here we extend coarse-graining to open Markov processes. An "open" Markov process is one where probability can flow in or out of certain states called "inputs" and "outputs". One can build up an ordinary Markov process from smaller open pieces in two basic ways: composition, where we identify the outputs of one open Markov process with the inputs of another, and tensoring, where we set two open Markov processes side by side. In previous work, Fong, Pollard and the first author showed that these constructions make open Markov processes into the morphisms of a symmetric monoidal category. Here we go further by constructing a symmetric monoidal double category where the 2-morphisms are ways of coarse-graining open Markov processes. We also extend the already known "black-boxing" functor from the category of open Markov processes to our double category. Black-boxing sends any open Markov process to the linear relation between input and output data that holds in steady states, including nonequilibrium steady states where there is a nonzero flow of probability through the process. To extend black-boxing to a functor between double categories, we need to prove that black-boxing is compatible with coarse-graining.

研究动机与目标

• 将粗粒化从通常应用于闭合马尔可夫过程推广至开放马尔可夫过程，其中概率可通过指定的输入和输出流入或流出。
• 通过两种操作形式化开放马尔可夫过程的组合：组合（将输出与输入配对）和张量积（并行组合），形成一个对称单oidal范畴。
• 构建一个对称单oidal双范畴，其中2-态射表示开放马尔可夫过程之间的粗粒化映射，从而实现对系统动力学的更高级抽象。
• 将黑箱化函子（将开放马尔可夫过程映射为输入与输出数据之间线性关系）从范畴扩展为双范畴之间的函子，确保其与粗粒化的兼容性。
• 建立一个组合式框架，通过粗粒化简化子系统，同时在稳态下（包括非平衡稳态）保持其输入输出行为，以分析复杂系统。

提出的方法

• 将开放马尔可夫过程定义为具有指定输入和输出状态的连续时间马尔可夫过程，其中概率可通过外部流入和流出项流入或流出，由带有外部流入和流出项的开放主方程控制。
• 引入粗粒化映射作为开放马尔可夫过程状态空间之间的函数 $ p: X \to X' $，这些函数不一定是满射，但保留动力学结构的近似。
• 构建一个对称单oidal双范畴 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $，其中：对象为有限集（输入/输出），垂直1-态射为这些集合之间的函数，水平1-细胞为开放马尔可夫过程，2-态射为粗粒化映射。
• 将黑箱化定义为一个函子 $ \blacksquare: \mathbb{M}\mathbf{ark} \to \mathbb{L}\mathbf{inRel} $，为每个开放马尔可夫过程分配一个在稳态下输入与输出流量之间的线性关系，由开放主方程的核定义。
• 通过证明粗粒化映射在黑箱化下的像为线性关系的包含关系，证明黑箱化与粗粒化兼容，确保在双范畴设置下函子的性质。
• 利用高阶范畴理论的结果——特别是同伦纤维对称单oidal双范畴的水平双范畴构造——推导出对称单oidal双范畴 $ \mathbb{Mark} $ 和 $ \mathbb{LinRel} $，并推测两者之间存在一个对称单oidal函子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将粗粒化从闭合马尔可夫过程推广至开放马尔可夫过程，其中概率可通过指定的输入和输出流入或流出？
• RQ2 何种代数结构最能捕捉开放马尔可夫过程的组合与简化，包括串行组合与并行组合？
• RQ3 黑箱化函子（将开放马尔可夫过程映射为输入与输出数据之间线性关系）能否从范畴扩展为双范畴之间的函子，同时尊重粗粒化？
• RQ4 何种条件可确保开放马尔可夫过程之间的粗粒化映射与黑箱化过程兼容，从而确保简化不会扭曲输入输出行为？
• RQ5 该框架如何通过抽象化内部细节而保留稳态输入输出行为，支持对复杂系统的组合式推理？

主要发现

• 本文构建了一个对称单oidal双范畴 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $，其2-态射表示开放马尔可夫过程之间的粗粒化映射，从而实现对内部动力学的抽象。
• 证明了黑箱化函子（将开放马尔可夫过程映射为输入与输出流量之间线性关系）与粗粒化兼容，即粗粒化与黑箱化可交换。
• 黑箱化过程通过将每个开放马尔可夫过程与方程 $ H(v) + i_*(I) - o_*(O) = 0 $ 定义的线性子空间相关联，捕捉了稳态行为——包括存在非零概率流的非平衡稳态。
• 作者证明了 $ \mathbb{M}\mathbf{ark} $ 是同伦纤维的，从而可构造其水平双范畴 $ \mathbb{Mark} $，为开放系统提供了一个组合式框架。
• 从双范畴 $ \mathbb{L}\mathbf{inRel} $ 构造了对称单oidal双范畴 $ \mathbb{LinRel} $，黑箱化函子被扩展为一个对称单oidal函子 $ \blacksquare: \mathbb{Mark} \to \mathbb{LinRel} $，保持组合与单oidal结构。
• 该框架支持组合式系统分析：复杂系统可通过组合与张量积从更小的开放马尔可夫过程构建，其行为可通过简化后的粗粒化模型研究，且不损失输入输出保真度。