[论文解读] Coherent sheaves on the stack of Langlands parameters

Xinwen Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 65被引用 21

一句话总结

本文通过在局部和整体函数域设定下引入朗兰兹参数堆栈上的凝聚层，提出了算术朗兰兹纲领的范畴框架。它提出了关于这些层与局部-全局相容性、Hecke作用及志村簇和拉波波特-津克空间上同调之间联系的猜想，关键结果包括一个导出的 S = T 猜想和广义拉波波特-津克空间的上同调公式。

ABSTRACT

We formulate a few conjectures on some hypothetical coherent sheaves on the stacks of arithmetic local Langlands parameters, including their roles played in the local-global compatibility in the Langlands program. We survey some known results as evidences of these conjectures.

研究动机与目标

• 通过朗兰兹参数堆栈上的凝聚层，制定局部算术朗兰兹对应关系的范畴版本。
• 为算术朗兰兹纲领中的局部-全局相容性提供几何框架。
• 通过 Hecke 作用将这些堆栈上的凝聚层与志村簇及拉波波特-津克空间的上同调联系起来。
• 在几何朗兰兹的背景下，将 S = T 定理推广至导出 Hecke 代数。
• 利用 ind-凝聚层和局部系统，建立广义拉波波特-津克空间的上同调公式的猜想。

提出的方法

• 使用导出代数几何，在函数域设定下构造局部和全局朗兰兹参数的模堆栈。
• 将算术朗兰兹参数的堆栈定义为从伽罗瓦群到朗兰兹对偶群的连续同态的模空间。
• 将这些堆栈上的凝聚层定义为控制朗兰兹对应关系的核心对象。
• 使用导出 Hecke 代数和 ind-凝聚层，将这些层与志村簇及拉波波特-津克空间的上同调联系起来。
• 应用 [49] 和 [27] 的函子框架，将这些层与局部朗兰兹对应关系的几何化联系起来。
• 提出导出范畴中凝聚层与 Hecke 特征层之间等价的猜想，推广 S = T 原则。

实验结果

研究问题

• RQ1 朗兰兹参数堆栈上的凝聚层如何为局部算术朗兰兹对应关系提供范畴化表述？
• RQ2 在整体函数域设定下，这些层与志村簇上同调之间的精确关系是什么？
• RQ3 导出 Hecke 代数如何作用于 Shtuka 和志村簇的上同调，且这种作用如何与所提出的层相关联？
• RQ4 能否从层论框架中推导出广义拉波波特-津克空间的上同调公式的猜想？
• RQ5 在通过所提层实现上同调上 Hecke 作用时，驯稳中心的作用是什么？

主要发现

• 猜想 4.60 提出从局部堆栈上层的 Hom 空间到上同调的 Hom 空间的自然映射，与复合相容，并将 S = T 原则推广至导出 Hecke 代数。
• 通过所提层实现的 Hecke 作用的复合，猜想与志村簇上同调上的自然 Hecke 作用一致。
• 猜想 4.62 提供了拉波波特-津克空间紧支上同调与层的 Hom 空间之间的 HK × WE × Gb(F)-等变同构，右侧集中于非负度。
• 该猜想意味着基本拉波波特-津克空间的上同调在中间度以下为零，与一般预期一致。
• 在局部堆栈的孤立光滑点处，上同调公式的右侧预计集中在度零。
• 该框架与已知的超特殊水平情形结果一致，经 [77, 83] 验证，并将其推广至导出设定。