[论文解读] Comment on 'Lie symmetry analysis of the Lundgren-Monin-Novikov equations for multi-point probability density functions of turbulent flow'

Michael Frewer, George Khujadze+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Climate variability and models参考文献 35被引用 4

一句话总结

本文批判了Lundgren-Monin-Novikov（LMN）方程的李对称性分析，通过证明新提出的两个对称性——X* 和 X**——是非物理的，因为它们违反了基本约束，包括分离约束和因果性原理。作者证明，这些对称性无法保持无限分离时的统计独立性，也无法从因果性上得到合理解释，因此无法用于建模湍流间歇性。

ABSTRACT

The recent study by Waclawczyk et al. [J. Phys. A: Math. Theor. 50, 175501 (2017)] possesses three shortcomings: (i) The analysis misses a key aspect of the LMN equations which makes their Lie-group symmetry results incomplete. In particular, two essential symmetries will break when including this aspect. (ii) The statements on the constraints regarding the infinite-dimensional symmetry groups are misleading. (iii) The particular symmetries originating solely from the linearity of the LMN hierarchy violate the classical principle of cause and effect and therefore are unphysical. Within this Comment we present a detailed proof to this claim and conclude with the note that the new study by Waclawczyk et al. gives an unrealistic outlook on deriving invariant symmetry solutions for velocity correlations that arise from intermittent processes.

研究动机与目标

• 挑战Wacławczyk等人在其LMN方程分析中提出的两个新李对称性（X* 和 X**）的有效性。
• 证明这些对称性违反了分离约束，这是湍流中多点联合概率密度函数（PDF）的基本物理要求。
• 论证仅基于LMN层级线性性的对称性是不物理的，因为它们违反了因果性原理。
• 表明对称性分析中缺乏内部约束——尤其是Ievlev约束和分离约束——导致结果不完整且错误。
• 强调细粒度（瞬时）与粗粒度（统计）层次之间的因果一致性，是建立物理上有意义的湍流统计理论的关键。

提出的方法

• 从其无穷小生成元推导出所提议对称性X*和X**的有限变换形式，表明其显式依赖于常数背景场b_n^0。
• 将对称性变换应用于分离约束（当|x1−x2|→∞时，f2 → f1·f1），证明变换后的PDF无法保持统计独立性。
• 分析方程（1.5）和（1.6）中变换极限的功能结构，表明无论选择何种b_n^0，该结构都无法约化为不变形式（1.4）。
• 利用因果性原理论证，粗粒度统计场（f_n*）的任何变化都必须在细粒度水平（瞬时场U）上有相应的因果来源，而这些对称性无法实现这一点。
• 强调高阶速度矩（n>2）的非线性本质，这与线性对称性假设相矛盾，使这些对称性与真实动力学不一致。
• 将统计对称性的行为与物理因果性进行比较，表明在细粒度水平上不被保持的对称性，不能作为统计解的有效对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Wacławczyk等人提出的对称性X*和X**是否保持了分离约束？这是多点联合PDF的关键物理要求。
• RQ2 考虑到这些对称性在瞬时（细粒度）水平上没有对应可构造的因果来源，是否能从因果性上合理解释其对统计场的改变？
• RQ3 为何对称性X*和X**与LMN层级中高阶速度矩的非线性结构不相容？
• RQ4 为何Ievlev约束和分离约束等内部约束的缺失，使Wacławczyk等人的对称性分析变得不完整？
• RQ5 在湍流理论中，因果性在区分物理上有效的统计对称性与非物理对称性方面起着什么作用？

主要发现

• 对称性X*（式[47]）破坏了分离约束，因其变换导致非不变极限：lim_{|x1−x2|→∞} f2* ≠ f1*(2*)·f1*(1*)
• 对称性X**（式[48]）同样无法保持分离约束，其变换极限在任何b_n^0选择下都无法约化为不变形式。
• X*和X**下变换PDF的功能结构中包含无法消除的、涉及b_n^0的虚假项，证明其并非物理对称性。
• 这两种对称性均违反因果性原理，因为它们在未在细粒度水平（瞬时速度场U）上建立可构造因果来源的情况下，诱导了粗粒度统计场（f_n*）的变化。
• 这些对称性是不物理的，因为它们仅源于LMN层级的线性性，而这种线性性并不能反映湍流速度矩的真实非线性动力学。
• 由于缺乏因果一致性与约束保持性，这些对称性无法产生间歇性湍流流动的不变解的说法被证伪。