[论文解读] Complete permutation polynomials induced from complete permutations of subfields

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文提出了一套通用技术，通过子域的完全排列，利用范数和迹映射，在有限域上构造完全排列多项式。它建立了多项式 $ xh(\mathrm{N}(x)) $ 或 $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ 在扩张域中诱导完全排列的条件，推广了近期结果，并实现了从已知子域排列系统化构造新多项式的方法。

ABSTRACT

We propose several techniques to construct complete permutation polynomials of finite fields by virtue of complete permutations of subfields. In some special cases, any complete permutation polynomials over a finite field can be used to construct complete permutations of certain extension fields with these techniques. The results generalize some recent work of several authors.

研究动机与目标

• 开发从子域的完全排列出发，在有限域上系统构造完全排列多项式的通用方法。
• 通过利用范数和迹等代数结构，扩展近期关于完全排列多项式构造的研究。
• 通过基于引理 1.1 和域论映射的统一框架，推广文献中已知的结果。
• 实现从基域中已有的完全排列多项式系统化生成扩张域中新的完全排列多项式。
• 解决构造完全排列多项式这一挑战，因其比一般排列多项式更稀有且更复杂。

提出的方法

• 利用引理 1.1，令 $ A = \mathbb{F}_{q^n} $，$ S = \bar{S} = \mathbb{F}_q $，并取映射 $ \lambda = \bar{\lambda} = \mathrm{N} $ 或 $ \mathrm{tr} $，将扩张域中的排列与子域中的排列关联起来。
• 应用范数映射 $ \mathrm{N}(x) = x^{(q^n-1)/(q-1)} $，在 $ (n, q-1) = 1 $ 条件下，将 $ \mathbb{F}_q $ 上的完全排列多项式提升至 $ \mathbb{F}_{q^n} $。
• 利用迹映射 $ \mathrm{tr}(x) = \sum_{i=0}^{n-1} x^{q^i} $，在 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 中构造完全排列，特别关注 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 上的排列。
• 引入一类多项式 $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $，证明当 $ xh(x) $ 是 $ \mathbb{F}_q $ 上的完全排列时，该多项式在 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 中为完全排列，前提是满足关于 $ n $、$ p $ 和 $ k $ 的条件。
• 使用 $ p $-多项式如 $ x^{p^k} - c x $ 来置换 $ \ker(\mathrm{tr}) $，并给出 $ c $ 和域参数的充分条件。
• 应用文献 [7] 中关于 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 排列构造的结果，特别关注 $ p \nmid n $ 且 $ (n, p^{(k,r)}-1) = 1 $ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从子域的完全排列系统化构造有限域上的完全排列多项式？
• RQ2 在什么条件下，形如 $ xh(\mathrm{N}(x)) $ 的多项式会在 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 中诱导完全排列？
• RQ3 迹映射能否用于在扩张域中构造完全排列多项式？其对基域和多项式结构的必要条件是什么？
• RQ4 在什么条件下 $ x^{p^k} - c x $ 会置换 $ \ker(\mathrm{tr}) $，从而实现新完全排列的构造？
• RQ5 所提出的技巧如何推广如 [4, 9, 16] 中的现有构造？

主要发现

• 定理 2.3 建立了：当且仅当 $ xh(x^n) $ 是 $ \mathbb{F}_q $ 上的完全排列多项式时，$ xh(\mathrm{N}(x)) $ 是 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上的完全排列多项式，前提是 $ (n, q-1) = 1 $。
• 定理 3.9 提供了一个使用迹映射构造完全排列多项式的通用框架，要求 $ xh(x) $ 是 $ \mathbb{F}_q $ 上的完全排列，且 $ L(x) $ 在 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 上诱导排列。
• 推论 3.12 表明：当 $ p \nmid n $ 且 $ (n, p^{(k,r)}-1) = 1 $ 时，对于所有 $ c \in \mathbb{F}_q $，$ x^{p^k} - c x $ 在 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 上为排列，前提是 $ c $ 满足较弱条件。
• 定理 3.13 推广了先前结果，表明对于任意 $ a \in \mathbb{F}_q^* $，多项式 $ x(h(\mathrm{tr}(x)) + a\mathrm{tr}(x)^{p^k-1} - a x^{p^k-1}) $ 是 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 上的完全排列多项式，前提是 $ xh(x) $ 是 $ \mathbb{F}_q $ 上的完全排列，$ (k,n)=1 $，$ p \nmid n $，且 $ (n, p^{(k,r)}-1)=1 $。
• 引理 3.10 给出了 $ x^{p^k} - c x $ 在 $ \ker(\mathrm{tr}) $ 上诱导单射（从而为排列）的显式充分条件，其取决于 $ c^{n(q-1)/(p^{(k,r)}-1)} $ 的取值。
• 结果推广了 [4, 9, 16] 中的构造，表明任何 $ \mathbb{F}_q $ 上的完全排列多项式均可通过所提出的提升技术，生成 $ \mathbb{F}_{q^n} $ 中新的完全排列多项式。