[论文解读] More Classes of Complete Permutation Polynomials over $\F_q$

Gaofei Wu, Nian Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了一类新的有限域 𝔽_q 上的完全置换多项式（CPP）类，利用 Zieve 的判别准则和迹函数。引入了具有 Niho 指数的单项式与多项式 CPP，包括 p=3 和奇素数的显式构造，并通过基于迹的多项式变换推广了先前结果，在 r, p, p−1 的最大公约数条件下，证明了 𝔽_{p^{rk}} 中 CPP 的新充分条件。

ABSTRACT

In this paper, by using a powerful criterion for permutation polynomials given by Zieve, we give several classes of complete permutation monomials over $\F_{q^r}$. In addition, we present a class of complete permutation multinomials, which is a generalization of recent work.

研究动机与目标

• 扩展已知的有限域 𝔽_q 上完全置换多项式（CPP）的类，特别是当 f(x) 和 f(x)+x 均为置换时的情况。
• 通过基于迹函数和系数条件的新多项式构造，推广近期关于 CPP 的结果。
• 在 r, p, p−1 的特定最大公约数约束下，为 𝔽_{p^{rk}} 中的单项式与多项式 CPP 提供充分必要条件。
• 统一并推广 Niho 指数与 Dickson 多项式在完全置换背景下的先前工作。
• 建立一个框架，利用 Zieve 的判别准则和扩展域上的多项式复合技术来构造 CPP。

提出的方法

• 利用 Zieve 的置换多项式判别准则，通过加法特征和 Walsh 变换验证置换性质。
• 应用文献 [28] 中的引理 4，通过形式 f(x) = x^l g(x^{(p^n−1)/(p^k−1)}) 构造 CPP，要求 gcd(l, (p^n−1)/(p^k−1)) = 1，且在 𝔽_{p^k} 上系数乘积为置换。
• 使用迹函数 Tr_k^n(x) = ∑_{i=0}^{r−1} x^{p^{ik}} 在 𝔽_{p^{rk}} 上定义系数属于 𝔽_{p^k} 的多项式 CPP。
• 提出一个通用构造 f(x) = x( (a/v)g(Tr_k^n(x)) + Tr_k^n(x)^{p−1} ) + (p−1)x^p + ax，其中 g 的选择使得 xg(x) + vx 是 𝔽_{p^k} 上的置换多项式。
• 利用域自同态和迹对称性性质，将置换条件简化为基域条件，从而实现归纳构造。
• 通过迹恒等式和乘法阶的代数运算验证结果，特别是当 f(x)=f(y) 时，有 x−y ∈ 𝔽_{p^k}，在最大公约数条件下可推出 x=y。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 p=3 且 d=3^k+2 时，ax^d 在 𝔽_{3^{2k}} 上何时为完全置换多项式？
• RQ2 当 p 为奇素数且 1≤i≤n 时，d = (p^k−1)(p^i−1)/2 + p^i 在 𝔽_{p^{2k}} 上何时为 CPP 指数？
• RQ3 当 r=4,6 且 p=3,5 时，f(x) = x^{(p^{rk}−1)/(p^k−1)} + 1 在 𝔽_{p^{rk}} 上何时为 CPP？
• RQ4 当 a ∈ 𝔽_{p^k}∖{0,−1} 时，f(x) = x(Tr_k^n(x))^{p−1} + (p−1)x^p + ax 在 𝔽_{p^{rk}} 上何时为 CPP？
• RQ5 如何利用 𝔽_{p^k} 上的 Dickson 多项式或其他置换多项式，通过基于迹的构造在 𝔽_{p^{rk}} 上生成新的 CPP？

主要发现

• 当 p=3 且 n=2k 时，指数 d=3^k+2 是 𝔽_{3^{2k}} 上的 CPP 指数，其证明方法与先前工作不同。
• 对任意奇素数 p 和 n=2k，当 1≤i≤n 时，d=(p^k−1)(p^i−1)/2 + p^i 是 𝔽_{p^{2k}} 上的 CPP 指数。
• 当 r=4 时，对 a^{-1}x^d 在 𝔽_{p^{rk}} 上为 CPP 的情形，导出了必要且充分条件，其中 d=(p^{rk}−1)/(p^k−1)+1 且 a∈𝔽_{p^k}^*。
• 当 r=6 且 p=3 或 5 时，若 gcd(r,k)=1，则 d=(p^{6k}−1)/(p^k−1)+1 是 𝔽_{p^{6k}} 上的 CPP 指数。
• 多项式构造 f(x) = x(Tr_k^n(x))^{p−1} + (p−1)x^p + ax 是 𝔽_{p^{rk}} 上的 CPP，当且仅当 gcd(p−1,r)=1 且 gcd(r,p)=1，且 a∈𝔽_{p^k}∖{0,−1}。
• 该构造推广了 [21] 并扩展了 [22]，并给出了显式例子，其中 g(x)=x^{d−1} 用于已知的 CPP 指数 d，以及五次 Dickson 多项式。