[论文解读] Complexity for one-dimensional discrete time quantum walk circuits

Aranya Bhattacharya, Himanshu Sahu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文通过将一维离散时间量子行走（DTQW）的混合态密度矩阵通过典范纯化转化为两量子比特纯态，进而计算由此产生的幺正演化复杂度，研究了DTQW的Nielsen复杂度。结果表明，逐步复杂度随时间线性增长，而直接复杂度则围绕某一平均深度振荡，揭示了量子行走动力学中电路深度与测地线复杂度之间的关键差异。

ABSTRACT

We compute the complexity for the mixed state density operator derived from a one-dimensional discrete-time quantum walk (DTQW). The complexity is computed using a two-qubit quantum circuit obtained from canonically purifying the mixed state. We demonstrate that the Nielson complexity for the unitary evolution oscillates around a mean circuit depth of $k$. Further, the complexity of the step-wise evolution operator grows cumulatively and linearly with the steps. From a quantum circuit perspective, this implies a succession of circuits of (near) constant depth to be applied to reach the final state.

研究动机与目标

• 探索Nielsen量子复杂度与实际量子电路深度在离散时间量子行走中的关联。
• 通过比较直接演化与逐步演化方法，解决Nielsen复杂度向物理量子电路映射时的模糊性。
• 证明逐步复杂度反映了电路规模的累积增长，而直接复杂度则表现出围绕某一平均深度的振荡行为。
• 为从逐步幺正响应构建时变有效哈密顿量提供一个框架。

提出的方法

• 使用幺正变换将DTQW的混合态密度矩阵的量子比特退火纯化为两量子比特纯态。
• 通过幺正群空间中的测地线长度计算直接与逐步演化路径的Nielsen复杂度。
• 求解k局部算符（k=1,2,3）的测地线方程，以构建幺正演化轨迹。
• 利用逐步幺正演化推导时变响应函数与有效哈密顿量，公式为 $ H(n) = -i \ln[U_n'] $。
• 设计一个包含单量子比特与双量子比特门的示意性量子电路，实现逐步演化，并显示其深度恒定。
• 将电路的平均复杂度与直接复杂度中观察到的振荡行为相关联。

Figure 1: Comparing the direct and step-wise evolution from an initial state $|\Psi_{I}\rangle$ to $|\Psi_{F}\rangle$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 在1D DTQW中，通过直接演化与逐步演化计算的Nielsen复杂度行为如何？
• RQ2 在量子行走实现中，电路深度与Nielsen复杂度之间存在何种关系？
• RQ3 能否通过逐步幺正演化生成反映行走动力学的物理上有意义的时变哈密顿量？
• RQ4 为何直接复杂度呈现振荡而逐步复杂度随时间线性增长？
• RQ5 如何以物理一致的方式将测地线复杂度映射到实际量子电路编译中？

主要发现

• 逐步Nielsen复杂度随步数线性增长，表明电路规模持续累积。
• 直接复杂度围绕一个依赖于算符局域性（k）的平均深度振荡，暗示行走演化中存在固有随机性。
• 直接复杂度的振荡行为表明，与电路深度不同，行走不表现出单调的复杂度增长。
• 用于逐步演化的示意性量子电路具有恒定深度，与逐步路径中观察到的平均复杂度一致。
• 通过 $ H(n) = -i \ln[U_n'] $ 可从逐步幺正演化重建时变有效哈密顿量，从而实现对每一步时间的门响应分析。
• 直接复杂度与逐步复杂度之间的差异凸显了测地线复杂度与实际电路复杂度之间的根本性不匹配，尤其在希尔伯特空间维度增长的系统中更为显著。

Figure 2: Entanglement of purification (EoP) with steps for canonical purification.