[论文解读] Computation at a distance

Samuel Kutin, David Petrie Moulton+1 more|ArXiv.org|Jan 26, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文研究在一维量子比特阵列上仅允许相邻量子比特操作时，线性可逆量子电路的深度复杂度。证明了任意在GF(2)上的线性运算均可在最多5n深度内实现，且某些运算至少需要2n+1深度，从而为加法、交换和反转等基本运算建立了紧致的深度界限。

ABSTRACT

We consider a model of computation motivated by possible limitations on quantum computers. We have a linear array of n wires, and we may perform operations only on pairs of adjacent wires. Our goal is to build a circuits that perform specified operations spanning all n wires. We show that the natural lower bound of n-1 on circuit depth is nearly tight for a variety of problems, and we prove linear upper bounds for additional problems. In particular, using only gates adding a wire (mod 2) into an adjacent wire, we can realize any linear operation in GL_n(2) as a circuit of depth 5n. We show that some linear operations require depth at least 2n+1.

研究动机与目标

• 确定仅使用相邻量子比特门在n量子比特线性阵列上实现任意线性可逆运算所需的最小深度。
• 弥合已知下界与上界之间在加法、交换、旋转和反转等基本运算上的深度差距。
• 为GL_n(2)中的运算建立紧致的深度界限，特别是证明反转至少需要2n+1深度，且可在2n+2深度内实现。
• 探讨GL_n(2)中任意矩阵的最大深度是否为4n+O(1)，基于结构和计算证据。

提出的方法

• 将电路建模为作用于GF(2)上列向量的初等矩阵序列，将每个门表示为单位矩阵的秩-1扰动。
• 采用代数方法将所有可逆线性运算表示为GL_n(2)的元素，门对应于初等矩阵（仅一个非对角线元素为1）的变换。
• 通过显式电路构造实现深度界限：例如，通过级联CNOT门将数据在阵列中传递，以实现远距离操作。
• 运用基于秩的论证推导下界：中间矩阵的总秩必须从0增长到至少k−εn，因此至少需要2k−εn个门。
• 采用递归约化策略将一般矩阵分解为三角形式，利用Beals关于电路分解的已知结果。
• 对小规模n（最多6）进行穷举搜索，以经验评估最大电路深度，并为渐近行为提供猜想依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用相邻CNOT门在n条线路上实现加法所需的最小深度是多少？
• RQ2 一般线性运算在GL_n(2)中的深度是否可被上界限制在4n+O(1)以内，且该界是否紧致？
• RQ3 反转深度的下界2n+1是否紧致，或可改进为2n+2或更少？
• RQ4 对于哪些运算类别（如置换、任意线性映射）可实现O(n)深度且附加常数较小？
• RQ5 GL_n(2)的结构是否可被利用，通过矩形阵列构造将一般矩阵实现深度降低至4n？

主要发现

• 在n条线路上实现加法可在深度n+4内完成，与n−1的下界仅相差一个较小的常数。
• 交换首尾两条线路需要深度n+8，且该构造可推广至在深度n+O(1)内实现任意两量子比特门。
• 对所有n条线路的旋转可在深度n+5内实现，且该操作的复杂度下界为n−1，与之匹配。
• n条线路的反转至少需要2n+1深度，且可在2n+2深度内实现，从而建立了紧致的界限。
• GL_n(2)中的任意矩阵均可在最多5n深度内实现，且该界几乎紧致，因为大多数矩阵至少需要(2−ε)n深度。
• 对n≤6的穷举搜索显示，最大深度分别为n=2至6时的3、8、10、13、14，提示最大深度可能为2n+O(1)，而非5n。