[论文解读] The Fukaya category pairs with Lagrangian cobordisms

Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文在凸的、精确的辛流形 $M$ 中，建立了紧致 brane 的 Fukaya 类别与非紧致拉格朗日子流形 cobordism 的 $∞$-范畴之间的配对。通过 $∞$-范畴框架，构造了一个从 cobordism 范畴到 Fukaya 类别的函子 $\Xi$，表明在 cobordism 关系下的紧致 brane 在 Fukaya 类别中是等价的。该工作为将 wrapped Fukaya 类别在 cobordism 上同调谱上进行丰富化奠定了基础。

ABSTRACT

Fix a suitably convex, exact symplectic manifold M. We consider the stable oo-category Lag(M) of non-compact Lagrangians whose (higher) morphisms are (higher) Lagrangian cobordisms between them. We show that this oo-category pairs with the Fukaya category Fuk(M) of compact branes. In fact, we also show that there is a subcategory of Lag(M) which pairs with the wrapped Fukaya category of M. This is a first step in a project to enrich wrapped Fukaya categories over cobordism spectra. As a corollary, we show that cobordant compact branes are equivalent in the Fukaya category. We will also mention several other applications (without proof) of the oo-categorical appraoch: One can realize Seidel's representation as a π_0-level consequence of a map of spaces; stable cobordism groups of non-compact branes map to Floer cohomology groups; some of Biran-Cornea's results can be recovered from the colored planar operad associated to the s-dot constructions of each category; and there is an Eoo map of spectra from exact Lagrangian cobordisms in Euclidean space to the integers.

研究动机与目标

• 在凸的、精确的辛流形 $M$ 中，定义并研究非紧致拉格朗日子流形 cobordism 的 $∞$-范畴 $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$。
• 在 $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$ 与紧致 brane 的 Fukaya 类别 $\mathrm{Fuk}(M)$ 之间建立自然的配对。
• 通过 $\infty$-范畴配对，证明在 cobordism 关系下的紧致 brane 在 Fukaya 类别中是等价的。
• 通过高阶 cobordism 结构，启动一个将 wrapped Fukaya 类别在 cobordism 上同调谱上进行丰富化的程序。
• 提供一个框架，通过高阶范畴与同伦方法恢复经典结果（例如，Seidel 表示、Biran-Cornea 不变量）。

提出的方法

• 在 $M \times T^*\mathbb{R}^m$ 中构造非紧致拉格朗日子流形的 $∞$-范畴 $\mathsf{Lag}_{\Lambda}(M)$，其态射由高维拉格朗日子流形 cobordism 给出。
• 使用稳定化过程与 $B$-构造，定义从 cobordism 范畴到 Fukaya 类别的函子。
• 在 $M$ 与 $M \times T^*\mathbb{R}$ 中应用伪全纯曲线技术，结合哈密顿扰动与紧致性/正则性论证。
• 引入一个从 $\mathsf{Lag}^{\diamond \bullet}$ 到 Fukaya 类别的函子 $\Xi$，其与面映射和退化映射相容。
• 采用包边与重参数化技术，控制伪全纯圆盘模空间的边界行为。
• 依赖 $\infty$-范畴框架处理高阶同伦，并确保与三角范畴及稳定结构的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将拉格朗日子流形 cobordism 组织为一个与紧致 brane 的 Fukaya 类别自然配对的 $∞$-范畴？
• RQ2 高阶 cobordism 在编码辛拓扑中的同伦与代数结构方面起什么作用？
• RQ3 通过 $\infty$-范畴配对，能否推导出在 Fukaya 类别中 cobordant 的紧致 brane 是等价的？
• RQ4 如何利用此框架，将 wrapped Fukaya 类别在 cobordism 上同调谱上进行丰富化？
• RQ5 经典不变量（如 Seidel 表示、Biran-Cornea 不变量）是否可作为高阶范畴映射在 $\pi_0$ 层次上的结果出现？

主要发现

• 拉格朗日子流形 cobordism 的 $∞$-范畴 $\mathsf{Lag}_{\mathrm{sk}(M)}(M)$ 与 Fukaya 类别 $\mathrm{Fuk}(M)$ 配对，建立了自然的 $\infty$-范畴对偶性。
• 作为 $\Xi$ 配对的结果，在 Fukaya 类别中，cobordant 的紧致 brane 是等价的。
• 该构造产生一个从 $\mathbb{R}^{2n}$ 中精确拉格朗日子流形 cobordism 到 $\mathbb{Z}$ 的 Eilenberg-MacLane 上同调谱的谱映射 $\mathcal{L} \to H\mathbb{Z}$，实现了 $E_\infty$-结构。
• 非紧致 brane 的稳定 cobordism 群通过 $\infty$-范畴框架映射到 Floer 上同调群。
• Seidel 的表示作为 $\infty$-范畴设定中空间映射在 $\pi_0$ 层次上的结果出现。
• Biran-Cornea 的结果可从相关范畴的 $s$-点构造所关联的着色平面操作符中恢复。