[论文解读] Contraction Metrics in Adaptive Nonlinear Control

Brett T. Lopez, Jean-Jacques Slotine|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Control and Stability of Dynamical SystemsEngineering参考文献 30被引用 18

一句话总结

本文提出了一种新颖的自适应非线性控制框架，利用收缩度量来稳定不确定非线性系统，而无需显式构造李雅普诺夫函数。通过利用轨迹收敛性的微分分析以及依赖于参数的收缩度量，该方法确保了可稳定系统（包括欠驱动系统和不匹配不确定性情形）的全局渐近稳定性，通过线性矩阵不等式和自适应律实现可证明的收敛性。

ABSTRACT

Lyapunov stability theory is the bedrock of direct adaptive control. Fundamentally, Lyapunov stability requires constructing a distance-like function which must decrease with time to ensure stability. Feedback linearization, backstepping, and sum-of-squares optimization are common approaches for constructing such a distance function, but require the system to possess certain inherent/structural properties or involves solving a non-convex optimization problem. These restrictions/complexities arise because Lyapunov stability theory relies on constructing an explicit distance function. This work uses contraction metrics to derive an adaptive controller for stabilizable nonlinear systems by constructing a distance-like function differentially rather than explicitly. Because stabilizability is in fact equivalent to the existence of a contraction metric, the proposed approach is significantly more general than available results in the literature. In particular, the method can be applied to underactuated systems. More broadly, it can also be used in transfer learning where a feedback controller has been carefully learned for a nominal system, but needs to remain effective in the presence of significant but structured variations in parameters. Simulation results illustrate the approach.

研究动机与目标

• 克服传统基于李雅普诺夫的自适应控制方法的局限性，这些方法需要显式构造控制李雅普诺夫函数。
• 开发一种适用于可稳定非线性系统的通用自适应控制框架，包括具有匹配和扩展匹配不确定性的情形。
• 实现对传统上难以系统合成自适应控制器的欠驱动系统应用。
• 将诸如死区和参数界等鲁棒性特征直接整合到控制器设计中。
• 提供一种计算上可行的方法，使用线性矩阵不等式替代非凸的平方和优化。

提出的方法

• 使用控制收缩度量（CCMs）定义轨迹之间的微分距离函数，避免显式构造李雅普诺夫函数。
• 基于CCM框架推导控制器，其中度量依赖于估计参数，并通过自适应律进行更新。
• 引入依赖于参数的黎曼能量函数 E(x, xd, θ̂) 以度量轨迹与期望路径的偏离程度。
• 对能量导数应用一阶滤波器，以处理参数自适应动力学并确保有界性。
• 采用自适应律 dθ̂/dt = -Γφ(x)ᵀM(γ(1),θ̂)γs(1) 更新参数估计，通过虚拟系统分析确保稳定性。
• 在虚拟系统上使用类似李雅普诺夫的函数 V，以证明能量函数趋于零的有界性和渐近收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用收缩度量设计自适应控制器，而无需显式构造控制李雅普诺夫函数？
• RQ2 所提出的方法是否适用于具有不匹配或扩展匹配参数不确定性的非线性系统？
• RQ3 该方法是否能仅基于可稳定性的条件，确保欠驱动系统的全局渐近稳定性？
• RQ4 如何自然地将诸如死区和参数界等鲁棒性特征整合到自适应控制框架中？
• RQ5 该方法是否避免了平方和优化的计算复杂性，同时保持稳定性保证？

主要发现

• 所提出的控制器通过证明黎曼能量 E(x, xd, θ̂) 在 t → ∞ 时收敛于零，确保了闭环系统的全局渐近稳定性。
• 由于可稳定性和收缩度量存在性之间的等价性，该方法适用于任何可稳定非线性系统，包括欠驱动系统。
• 自适应律确保了参数误差的有界性，并实现了状态轨迹对期望路径的渐近收敛。
• 虚拟系统分析确认，能量和参数误差均保持有界，且在给定条件下能量呈指数衰减。
• 通过将设计条件表述为线性矩阵不等式，该方法避免了非凸的平方和优化。
• 控制器可扩展加入诸如死区和参数界等鲁棒特性，而无需改变核心稳定性证明。