[论文解读] Controllability function as time of motion. I

Abdon E. Choque‐Rivero, V. I. Korobov+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Control and Dynamics of Mobile RobotsEngineering参考文献 3被引用 16

一句话总结

本文提出一种可控性函数方法，用于求解具有有界控制的典型系统的位置控制问题，其中可控性函数 Θ(x) 显式表示从任意初始状态到原点的运动时间。通过构造 Θ(x) 使得其沿系统轨迹的导数为 -1，该方法利用从 Θ(x) 导出的反馈控制律 u(x) 实现有限时间稳定，且针对单位控制幅值限制下的三阶系统提供了显式解。

ABSTRACT

The admissible positional control problem for the canonical system with geometrical restrictions on the control is considered. The investigation is performed with the help of the controllability function method. We obtain controllability functions which are the time of motion from an arbitrary initial condition to the origin. We also reveal a set of controls which solves this problem.

研究动机与目标

• 解决在几何控制约束下典型系统的可接受位置控制问题。
• 构造一个可控性函数 Θ(x)，使其表示从任意初始状态到原点的运动时间。
• 推导出一种反馈控制律 u(x)，确保在满足控制界限的前提下实现有限时间收敛至原点。
• 为具有单位控制幅值限制的三阶典型系统提供显式解析解。
• 证明 Θ(x) 沿闭环轨迹的导数恰好为 -1，从而确保有限时间可达性。

提出的方法

• 通过构造可控性函数 Θ(x)，使其沿闭环系统轨迹的时间导数为 -1，即 dΘ/dt = -1。
• 针对三阶系统，推导出控制律为 u(x) = -6/Θ(x)·x₁ - 25/Θ²(x)·x₂ - 45/Θ³(x)·x₃。
• 通过变量替换 t = Θ₀ - e^τ，将时变的欧拉型方程转化为具有常系数的线性常微分方程。
• 解以 τ = ln(Θ₀ - t) 的指数与三角函数形式表达，实现轨迹的显式计算。
• 利用初始条件确定通解中的常数，确保与初始状态 x₀ 一致。
• 该方法确保 Θ(x) 在 x ≠ 0 时连续可微，并满足不等式 ∂Θ/∂x · f(x,u(x)) ≤ -βΘ¹⁻¹/α，其中 α = ∞ 表明其具有李雅普诺夫函数特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个可控性函数，使其能精确表示具有有界控制的典型系统从任意初始状态到原点的运动时间？
• RQ2 何种反馈控制律 u(x) 可确保在满足 |u| ≤ d 的前提下实现有限时间收敛至原点？
• RQ3 运动时间 Θ(x) 是否可显式计算，并验证其沿闭环轨迹满足 dΘ/dt = -1？
• RQ4 在所推导的控制律下，系统轨迹的行为如何？是否可表示为闭式解？
• RQ5 当通过时间变量替换将系统转化为常系数常微分方程时，解的解析结构是什么？

主要发现

• 对于满足 |u| ≤ 1 的三阶典型系统，若初始状态满足 x₂⁰ = -41(x₁⁰)²/121 且 x₃⁰ = 0，则从初始状态 x₀ 到原点的运动时间为 Θ₀ = 41x₁⁰/11。
• 轨迹以时间的显式函数形式给出，且当 t → Θ₀ 时有 x(t) → 0，证实了有限时间收敛。
• 轨迹上的控制律为 u(t) = -1/41(6 + 35cosα(t))，且对所有 t 满足 |u(t)| ≤ 1。
• 解以 α(t) = √6 ln(1 - 11t/(41x₁⁰)) 的形式表达，显示出由对数时间缩放调制的振荡行为。
• 解中的常数由初始条件确定，c₁、c₂、c₃ 以 x₀₁、x₀₂、x₀₃ 和 Θ₀ 表示。
• Θ(x) 沿轨迹的导数恰好为 -1，证实 Θ(x) 是从初始状态到原点的真实运动时间。