[论文解读] Eigenvalues and Singular Values of Dual Quaternion Matrices

Liqun Qi, Ziyan Luo|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2021

Control and Dynamics of Mobile RobotsEngineering参考文献 6被引用 20

一句话总结

本文建立了双四元数矩阵的谱理论，引入了右特征值和左特征值，并证明了双四元数厄米特矩阵的特征值为双数。本文提出了此类矩阵的酉分解，并为一般双四元数矩阵建立了奇异值分解（SVD），表明奇异值为非负双数，并通过正奇异值及其标准部分定义了秩与显著秩。

ABSTRACT

The poses of $m$ robotics in $n$ time points may be represented by an $m imes n$ dual quaternion matrix. In this paper, we study the spectral theory of dual quaternion matrices. We introduce right and left eigenvalues for square dual quaternion matrices. If a right eigenvalue is a dual number, then it is also a left eigenvalue. In this case, this dual number is called an eigenvalue of that dual quaternion matrix. We show that the right eigenvalues of a dual quaternion Hermitian matrix are dual numbers. Thus, they are eigenvalues. An $n imes n$ dual quaternion Hermitian matrix is shown to have exactly $n$ eigenvalues. It is positive semidefinite, or positive definite, if and only if all of its eigenvalues are nonnegative, or positive and appreciable, dual numbers, respectively. We present a unitary decomposition of a dual quaternion Hermitian matrix, and the singular value decomposition for a general dual quaternion matrix. The singular values of a dual quaternion matrix are nonnegative dual numbers.

研究动机与目标

• 为用于表示随时间变化的机器人位姿的双四元数矩阵建立全面的谱理论。
• 为方阵双四元数矩阵定义并分析右特征值与左特征值，特别关注厄米特矩阵。
• 为双四元数厄米特矩阵建立酉分解，并证明其恰好有 n 个特征值。
• 推导一般双四元数矩阵的奇异值分解（SVD），并基于奇异值定义秩与显著秩。
• 填补双四元数矩阵理论中的基础性空白，该理论相较于实数、复数或四元数矩阵尚不成熟。

提出的方法

• 为方阵双四元数矩阵引入右特征值与左特征值，证明若右特征值为双数，则其亦为左特征值。
• 证明双四元数矩阵右特征值的标准部分是该矩阵标准部分的右特征值。
• 证明双四元数厄米特矩阵的所有右特征值均为双数，因此为有效特征值，并推导其标准部分与无穷小部分的公式。
• 为双四元数厄米特矩阵建立酉分解，证明其可对角化且恰好有 n 个特征值。
• 将‘完美厄米特矩阵’定义为形如 $ A^*A $ 的正半定双四元数厄米特矩阵，其可进行酉分解 $ M = U ilde{oldsymbol{ u}}^2 U^* $。
• 将一般 $ m \times n $ 双四元数矩阵 $ B $ 的 SVD 构造为 $ B = \hat{V} \Sigma_t \hat{U}^* $，其中 $ \Sigma_t $ 为非负双数构成的分块对角矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双四元数矩阵的右特征值也是左特征值？何时可称其为真特征值？
• RQ2 双四元数厄米特矩阵能否进行酉对角化？其具有多少个特征值？
• RQ3 在何种条件下矩阵 $ A^*A $ 可实现酉分解 $ U \Sigma^2 U^* $？为何此分解对 SVD 极为关键？
• RQ4 如何基于奇异值定义并计算双四元数矩阵的秩与显著秩？
• RQ5 所有元素均为单位双四元数的双四元数矩阵具有何种结构性与代数性质？

主要发现

• 一个 $ n \times n $ 双四元数厄米特矩阵恰好有 $ n $ 个特征值，且所有特征值均为双数。
• 双四元数厄米特矩阵为正半定（或正定）当且仅当其所有特征值均为非负（或正且显著）双数。
• 双四元数矩阵的奇异值为非负双数，且一般双四元数矩阵的 SVD 以 $ B = \hat{V} \Sigma_t \hat{U}^* $ 形式存在，其中 $ \Sigma_t $ 为非负双数构成的分块对角矩阵。
• 双四元数矩阵 $ B $ 的显著秩等于其标准部分 $ B_{\text{st}} $ 的秩，且 $ B $ 的秩至少等于其显著秩。
• 任意部分酉矩阵 $ P \in \mathbb{DQ}^{m \times n} $（即满足 $ P^*P = I_n $）的秩与显著秩均为 $ n $。
• 任意双四元数矩阵 $ A $ 的矩阵 $ A^*A $ 均为‘完美厄米特矩阵’，确保其存在酉分解 $ A^*A = U \Sigma^2 U^* $，从而支持 SVD 的构建。