[论文解读] Derived Differentiable Manifolds

Kai Behrend, Hsuan-Yi Liao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用 5

一句话总结

本文利用弯曲 $L_{\infty}[1]$-代数的丛发展了导出微分几何，将导出流形确立为纤维对象类别，从而实现同伦纤维积与导出交集。通过路径空间与同伦传递构造了对角线的有限维分解，证明了导出设定下的反函数定理，并厘清了导出几何中弱等价与拟同构之间的关系。

ABSTRACT

We develop the theory of derived differential geometry in terms of bundles of curved $L_\infty[1]$-algebras, i.e. dg manifolds of positive amplitudes. We prove the category of derived manifolds is a category of fibrant objects. Therefore, we can make sense of "homotopy fibered product" and "derived intersection" of submaifolds in a smooth manifold in the homotopy category of derived manifolds. We construct a factorization of the diagonal using path spaces. First we construct an infinite-dimensional factorization using actual path spaces motivated by the AKSZ construction, then we cut down to finite dimensions using the Fiorenza-Manetti method. The main ingredient is the homotopy transfer theorem for curved $L_\infty[1]$-algebras. We also prove the inverse function theorem for derived manifolds, and investigate the relationship between weak equivalence and quasi-isomorphism for derived manifolds.

研究动机与目标

• 开发基于弯曲 $L_{\infty}[1]$-代数丛的导出微分几何框架。
• 将导出流形确立为纤维对象类别，以支持同伦理论构造。
• 通过路径空间与同伦传递，构造对角线的有限维分解。
• 在导出设定下证明反函数定理，并厘清弱等价与拟同构之间的关系。
• 通过同伦纤维积，为光滑流形中子流形的导出交集提供几何实现。

提出的方法

• 将导出流形建模为三元组 $(M, L, \lambda)$，其中 $M$ 为 $C^\infty$-流形，$L$ 为分次向量丛，$\lambda$ 在每根纤维上定义弯曲 $L_{\infty}[1]$-代数结构。
• 利用弯曲 $L_{\infty}[1]$-代数的同伦传递定理，将无限维路径空间构造简化为有限维。
• 通过实际路径空间构造流形的导出路径空间，随后应用 Fiorenza-Manetti 方法将其截断为有限维。
• 以 AKSZ 构造为动机，推动路径空间分解，从而在移位切丛的路径空间上诱导出一个同调向量场。
• 在导出流形的同伦范畴中，将子流形的导出交集定义为同伦纤维积。
• 利用典范向量场 $\tau$ 及其与同调向量场 $PQ$ 的相互作用，定义路径空间切丛上的微分 graded 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在经典微分几何中，纤维积常不存在，如何有意义地定义子流形的导出交集？
• RQ2 路径空间在导出几何中对角线分解的构建中起什么作用？
• RQ3 如何在保持同伦结构的前提下，将无限维路径空间构造简化为有限维模型？
• RQ4 在导出流形范畴中，弱等价与拟同构之间的精确关系是什么？
• RQ5 反函数定理在导出设定下在多大程度上成立？它与导出流形的同伦理论有何关联？

主要发现

• 导出流形的范畴是纤维对象范畴，从而可在同伦范畴中构造同伦纤维积与导出交集。
• 通过 Fiorenza-Manetti 方法与同伦传递，利用导出路径空间构造了对角线的有限维分解。
• 导出流形的路径空间自然携带微分 graded 结构，表示为 $T(P{\mathscr{M}})[-1]$，其同调向量场为 $\iota_\tau + \widehat{PQ}[-1]$，其中 $\tau$ 为典范向量场。
• 反函数定理在导出流形上成立，将经典结果推广至同伦设定。
• 导出流形中的弱等价与底层 $L_{\infty}[1]$-代数的拟同构完全一致，建立了同伦理论与上同调代数之间的重要联系。
• 对任意路径 $a: I \to M$，其上拉回复形 $\Gamma(I, a^*T{\mathscr{M}}[-1])$ 携带由 $a'\,dt + a^*\mu$ 诱导的弯曲 $L_{\infty}[1]$-结构，与命题 2.5 中的结构一致。