[论文解读] Descent and C^0-rigidity of spectral invariants on monotone symplectic manifolds

Sobhan Seyfaddini|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文在单射辛流形上建立了谱不变量的 $C^0$-刚性估计，表明两个紧台支撑哈密顿量的谱不变量之差线性依赖于其时间-1映射之间的 $C^0$-距离，外加一个涉及单射常数 $\lambda$ 的拓扑修正项。关键结果是当 $\lambda > 0$ 时，谱不变量从紧台支撑哈密顿群的万有覆叠映射到该群本身，其应用涵盖霍弗几何以及霍弗度量的 $C^0$-连续性。

ABSTRACT

We obtain estimates showing that on monotone symplectic manifolds (asymptotic) spectral invariants of Hamiltonians which vanish on a non-empty open set, U, descend to Ham_c(M\setminus U) from its universal cover. Furthermore, we show these invariants and are continuous with respect to the C^0-topology on Ham_c(M\setminus U). We apply these results to Hofer geometry and establish unboundedness of the Hofer diameter of $Ham_c(M\setminus U)$ for stably displaceable $U$. We also answer a question of F. Le Roux about $C^0$-continuity properties of the Hofer metric.

研究动机与目标

• 建立仅依赖于时间-1哈密顿微分同胚之间 $C^0$-距离的谱不变量 $C^0$-刚性估计，而不依赖于完整路径。
• 解决谱不变量是否可从 $Ham_c(M\setminus U)$ 的万有覆叠下拉至 $Ham_c(M\setminus U)$ 本身的问题，特别是在单射辛流形上。
• 将结果应用于霍弗几何，证明当开集 $U$ 稳定可平移时，$Ham_c(M\setminus U)$ 的霍弗直径无界。
• 通过证明对任意 $A>0$，集合 $\mathcal{E}_A(M\setminus U)$ 具有非空的 $C^0$-内部，回答 F. Le Roux 关于霍弗度量 $C^0$-连续性性质的问题。

提出的方法

• 使用由 Schwarz 和 Oh 构造的哈密顿弗洛尔同调定义的谱不变量，适用于满足 $[\omega]|_{\pi_2} = \lambda c_1|_{\pi_2}$ 的闭合单射辛流形。
• 对远离非空开集 $U$ 支撑的哈密顿量应用 $\delta$-正则化过程，以确保对 $C^0$-距离的控制。
• 在辛流形 $M \setminus U$ 中使用 $\epsilon$-平移论证，将时间-1映射的 $C^0$-距离与谱不变量联系起来。
• 建立关键不等式：$|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n \max(0, \lambda)$，其中 $C$ 依赖于 $U$。
• 通过柱状端构造将紧致辛流形嵌入开辛流形中，将结果推广至具有边界的紧致辛流形。
• 在扩展流形 $\hat{X} = X \cup_{\partial X} \partial X \times [0,\infty)$ 上应用可接受哈密顿量的理论，以一致地定义谱不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单射辛流形上，时间-1哈密顿微分同胚之间的 $C^0$-距离是否独立于路径地控制其谱不变量的差异？
• RQ2 在何种条件下，$\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$ 上的谱不变量可下拉至 $Ham_c(M\setminus U)$？
• RQ3 当 $U$ 稳定可平移时，$Ham_c(M\setminus U)$ 的霍弗直径是否无界？
• RQ4 对任意 $A>0$，集合 $\mathcal{E}_A(M\setminus U)$ 是否具有非空的 $C^0$-内部，从而解决 F. Le Roux 提出的问题？

主要发现

• 本文建立了 $C^0$-刚性估计：$|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n \max(0, \lambda)$，其中 $C$ 依赖于开集 $U$，适用于在 $M \setminus U$ 上支撑的哈密顿量。
• 当 $\lambda > 0$ 时，谱不变量可从 $\widetilde{Ham_c}(M\setminus U)$ 下拉至 $Ham_c(M\setminus U)$，这是由于拓扑修正项的存在。
• 当 $U$ 稳定可平移时，$Ham_c(M\setminus U)$ 的霍弗直径无界，因为谱不变量可被任意放大。
• 对任意 $A > 0$，集合 $\mathcal{E}_A(M\setminus U)$ 具有非空的 $C^0$-内部，从而肯定回答了 F. Le Roux 关于霍弗度量 $C^0$-连续性的问题。
• 在满足单射性的条件下，结果可推广至具有边界的紧致辛流形，此时谱不变量满足 $|c(a,G) - c(a,H)| \leq C \cdot d_{C^0}(\phi^1_G, \phi^1_H) + n\lambda$。
• 通过在 $\hat{X} = X \cup_{\partial X} \partial X \times [0,\infty)$ 上使用可接受哈密顿量构造谱不变量，确保了一致性，并使得主要结果可推广至具有边界的流形。