[论文解读] Description of all translation-invariant $p$-adic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

U. A. Rozikov, Otabek Khakimov|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

advanced mathematical theoriesMathematics参考文献 5被引用 21

一句话总结

本文全面表征并计数了在二阶Cayley树上$q$-状态Potts模型的所有平移不变$p$-进 Gibbs测度（TIpGMs）。通过递归边界律分析与$p$-进动力系统，证明了TIpGMs有界当且仅当$q \notin p\mathbb{N}$，并根据$q$、$p$和相互作用参数$ heta$提供了精确计数：当$ heta \notin \{1-q, 1+q\}$且$q \notin p\mathbb{N}$时，最多存在$2^q - 1$个不同的测度。结果将先前在实数域中的发现推广至$p$-进设置。

ABSTRACT

Recently it was proved that usual (real) Potts model on a Cayley tree has up to $2^q-1$ translation-invariant Gibbs measures. This paper is devoted to description of translation- invariant $p$-adic Gibbs measures (TIpGMs) of the $p$-adic Potts model. In particular, for the Cayley tree of order two we give exact number of such measures. Mereover we give criterion of boundedness of TIpGMs.

研究动机与目标

• 全面描述二阶Cayley树上$q$-状态Potts模型的平移不变$p$-进Gibbs测度（TIpGMs）集合。
• 在$q$、$p$和相互作用参数$\theta$的各种条件下，确定TIpGMs的精确数量。
• 建立TIpGMs有界性的准则，以$q$和$\theta$的$p$-进范数表示。
• 将对$p$-进统计力学中相变的理解从实数情形推广至更一般情形。

提出的方法

• 分析边界律（边界场）的树递归，其不动点对应于TIpGMs。
• 通过边界律向量中非零分量的数量来表征不动点。
• 应用$p$-进分析，包括$p$-进指数与对数函数，研究收敛性与有界性。
• 利用递推关系$Z_{n+1,h} = A_{n,h} Z_{n,h}$分析正规化常数$Z_n$及其$p$-进范数。
• 应用$p$-进Hensel引理及$\mathbb{Q}_p$中二次方程的可解性条件，以确定解的存在性。
• 考虑模型中的对称性，避免对不同Gibbs测度的重复计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二阶Cayley树上，$q$-状态Potts模型的平移不变$p$-进Gibbs测度有多少个？该数量如何依赖于$q$、$p$和$\theta$？
• RQ2 在何种$q$与$\theta$条件下，TIpGMs在$p$-进意义下有界？
• RQ3 边界律递归的不动点的精确结构是什么？它们与不同Gibbs测度之间有何关系？
• RQ4 当$q \in p\mathbb{N}$与$q \notin p\mathbb{N}$时，TIpGMs的数量如何变化？
• RQ5 $\theta - 1$的$p$-进范数在确定TIpGMs的存在性与有界性方面起什么作用？

主要发现

• 当且仅当$q \notin p\mathbb{N}$时，TIpGMs有界，这由当$q \in p\mathbb{N}$时正规化常数$Z_n$在$p$-进范数下的发散性所证明。
• 当$q \notin p\mathbb{N}$时，恰好存在一个TIpGM，因此$\mathcal{N}_{TI} = 1$。
• 当$q = p > 2$且$\theta \notin \{1-q, 1+q\}$时，TIpGMs的数量为$\mathcal{N}_{TI} = 2^q - 1$，与实数情形一致。
• 当$\theta \in \{1-q, 1+q\}$时，TIpGMs的数量减少为$\mathcal{N}_{TI} = 2^{q-1}$。
• 当$q = pn$且$n \in \{2, p-1\}$，$p > 2$时，若$\theta \notin \{1-q, 1+q\}$，TIpGMs数量减少$2\sum_{s=1}^{[n/2]} \binom{pn}{ps}$；若$\theta \in \{1-q, 1+q\}$，则减少$\sum_{s=1}^{[n/2]} \binom{pn}{ps}$。
• 当$p = 2$且$|q|_2 > 1/4$时，仅存在一个TIpGM，即$\mathcal{N}_{TI} = 1$；当$q = 4$时，根据$\mathbb{Q}_2$中是否存在$2$-进平方根，最多可存在15个TIpGMs。