[论文解读] Determining F-theory matter via Gromov-Witten invariants

Amir-Kian Kashani-Poor|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 58被引用 4

一句话总结

该论文通过结合 торическая几何、格罗莫夫-塞温不变量和镜像对称，提出了一种方法，用于确定在希茨布吕赫曲面之上的椭圆纤维化卡拉比-丘三复叠上F理论的物质内容。该研究提出了一种算法，通过双有理等价的 торic 平坦空间近似此类几何结构的莫里锥，表明当近似结果为光滑锥时，其与真实莫里锥一致，并编码了物质内容。关键成果是建立了一个系统且可计算的框架，通过莫里锥中曲线的零亏格格罗莫夫-塞温不变量来识别物质表示。

ABSTRACT

We show how to use Gromov-Witten invariants to determine the matter content of F-theory compactifications on elliptically fibered Calabi-Yau manifolds $X$ over Hirzebruch surfaces. To determine the representations of these matter multiplets under the gauge algebra $\\mathfrak{g}$, we use toric methods to embed the weight lattice of $\\mathfrak{g}$ into the integer homology lattice of $X$. We then apply mirror symmetry to determine whether classes in this lattice which correspond to weights of given representations are represented by irreducible curves. Applying mirror symmetry efficiently to such geometries requires obtaining good approximations to their Mori cones. We propose an algorithm for obtaining such approximations. When the algorithm yields a smooth cone, we find that the latter in fact coincides with the Mori cone of $X$ and already contains information on the matter content of compactifications on $X$. Our algorithm relies on studying toric ambient spaces for the Calabi-Yau hypersurface $X$ which are merely birationally equivalent to fibrations over Hirzebruch surfaces. We study the flops relating such varieties in detail.

研究动机与目标

• 确定F理论在希茨布吕赫曲面Fn上的椭圆纤维化卡拉比-丘三复叠上的物质内容。
• 解决尽管规范对称性可通过柯达拉分类获得，但物质内容在几何上更难提取的挑战。
• 开发一种系统且可计算的方法，利用格罗莫夫-塞温不变量识别物质表示。
• 构建一种算法，通过 торic 方法近似此类卡拉比-丘几何的莫里锥，即使其平坦空间仅与Fn上的纤维化双有理等价。
• 应用镜像对称，确定对应于规范表示权重的同调类是否由不可约曲线表示。

提出的方法

• 通过 торic 几何将规范代数g的根格子嵌入卡拉比-丘三复叠X的尼伦-塞韦里群N1(X)中。
• 利用 торic 方法将g的权格子与H2(X, Z)中的整数同调类联系起来。
• 应用镜像对称，检验特定同调类是否由不可约曲线表示，这些曲线对应于物质态。
• 提出一种算法，通过研究与希茨布吕赫曲面Fn上的纤维化双有理等价的 торic 平坦空间，来近似X的莫里锥。
• 分析翻转（flops）对莫里锥结构的影响，以关联同一卡拉比-丘三复叠的不同双有理模型。
• 通过求解皮卡-福克斯系统并识别辛基底中的周期，利用镜像对称计算零亏格格罗莫夫-塞温不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用格罗莫夫-塞温不变量确定F理论在椭圆纤维化卡拉比-丘三复叠上紧化于希茨布吕赫曲面时的物质内容？
• RQ2 规范代数g的权格子与紧化流形X的整数同调格子H2(X, Z)之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否仅利用双有理等价平坦空间的 торic 数据，构建一种算法来近似此类卡拉比-丘几何的莫里锥？
• RQ4 在何种条件下，近似的莫里锥与真实莫里锥一致，且何时能编码物质内容？
• RQ5 如何高效地应用镜像对称，以确定给定同调类是否对应于表示物质多重态的不可约曲线？

主要发现

• 近似莫里锥的算法在近似结果为光滑锥时，其与卡拉比-丘三复叠X的真实莫里锥一致，且该锥完整包含了物质内容的信息。
• 对于(E8)12，唯一类型I的变体具有一个光滑的 торic 莫里锥，其包含12个生成元，明确列于表A.15中，其格罗莫夫-塞温不变量证实了物质内容。
• 对于(F4)n，n=0,…,5，物质内容为2*(5−n)个半超多重态，位于26维表示中，相应的格罗莫夫-塞温不变量为2*(5−n)−2。
• 对于(G2)n，n=0,…,3，物质内容为2*(7−2n)个半超多重态，位于7维表示中，格罗莫夫-塞温不变量为12−4n，在n=3时为零。
• 对于类型I的(E7)n变体，其 торic 莫里锥生成元已明确计算并列于表A.13中，其对基空间Fn的依赖仅通过一个生成元C10体现。
• 在所有研究的案例中，当表示的权同时也是根时，其对应的格罗莫夫-塞温不变量为2*(重数)−2，证实了该方法的一致性。