[论文解读] Diffeological gluing of vector pseudo-bundles and pseudo-metrics on them

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文通过引入在每个纤维处最小退化的伪度量，构建了向量伪丛的李普希茨度量的李普希茨类比，并确立了此类度量存在且在李普希茨粘合下保持不变的条件。结果表明，粘合伪丛上的伪度量源于其分量上相容的伪度量，并在局部平凡性条件下，自然诱导出对偶伪丛上的伪度量。

ABSTRACT

Although our main interest here is developing an appropriate analog, for diffeological vector pseudo-bundles, of a Riemannian metric, a significant portion is dedicated to continued study of the gluing operation for pseudo-bundles introduced in arXiv:1509.03023. We give more details regarding the behavior of this operation with respect to gluing, also providing some details omitted from arXiv:1509.03023, and pay more attention to the relations with the spaces of smooth maps. We also show that a usual smooth vector bundle over a manifold that admits a finite atlas can be seen as a result of a diffeological gluing, and thus deduce that its usual dual bundle is the same as its diffeological dual. We then consider the notion of a pseudo-metric, the fact that it does not always exist (which seems to be related to non-local-triviality condition), construction of an induced pseudo-metric on a pseudo-bundle obtained by gluing, and finally, the relation between the spaces of all pseudo-metrics on the factors of a gluing, and on its result. We conclude by commenting on the induced pseudo-metric on the pseudo-bundle dual to the given one.

研究动机与目标

• 将黎曼度量的概念扩展至无需局部平凡性的李普希茨向量伪丛。
• 通过引入在每点处最小退化的对称双线性型，解决非标准有限维李普希茨向量空间上标准内积的失效问题。
• 发展李普希茨粘合向量伪丛上的伪度量理论，并将其与原始分量上的伪度量相关联。
• 在局部平凡性条件下，定义并研究给定伪丛上对偶伪丛的诱导伪度量。

提出的方法

• 引入李普希茨向量伪丛的概念，作为无需局部平凡性的光滑向量丛类对象。
• 将伪度量定义为对偶伪丛的对称张量积的光滑截面，且在每个纤维处具有最小退化性。
• 应用[9]中的李普希茨粘合构造，从重叠区域上的相容数据构建新的伪丛。
• 建立从粘合分量上相容伪度量对到结果伪度量的映射 $\mathcal{P}$，并证明其单射性。
• 利用由伪度量 $g$ 诱导的自然配对映射 $\Phi: V \to V^*$，定义为 $\Phi(v) = g(\pi(v))(v, \cdot)$，以构造对偶伪度量。
• 证明 $\Phi$ 的光滑性，并利用局部平凡性通过局部微分同胚和求值映射证明诱导的对偶伪度量 $g^*$ 是光滑的。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，李普希茨向量伪丛允许存在伪度量，且其是否由粘合诱导？
• RQ2 李普希茨粘合中分量上的相容伪度量如何与结果伪丛上的伪度量相关？
• RQ3 伪丛上的伪度量是否能诱导出良好定义且光滑的对偶伪丛上的伪度量？
• RQ4 从相容伪度量对到粘合伪度量的映射 $\mathcal{P}$ 是否总是满射，还是仅单射？
• RQ5 对偶伪度量的存在是否需要局部平凡性假设，且该假设是否为必要？

主要发现

• 若有限维李普希茨向量伪丛允许存在伪度量，则在原丛局部平凡的条件下，其对偶伪丛上可良好定义并光滑地诱导出伪度量。
• 从粘合分量上相容伪度量对到结果伪度量的映射 $\mathcal{P}$ 始终是单射，因为其在每个纤维上的限制可恢复原始度量。
• 诱导的对偶伪度量 $g^*$ 通过点态定义 $g^*(x)(\Phi(v), \Phi(w)) := g(x)(v,w)$，且由于 $\Phi$ 的核为 $g(x)$ 的迷向子空间，因此定义良好。
• 由于 $g$ 的光滑性，$\Phi$ 的光滑性可得，且在局部平凡性成立的邻域上，诱导的 $g^*$ 是光滑的。
• 通过存在子空间 $V_0 \subset \pi^{-1}(x)$ 使得 $\Phi|_{V_0}$ 是到对偶纤维的微分同胚，从而实现对偶丛的局部平凡化，$g^*$ 的构造依赖于该子空间的存在。
• 局部平凡性对 $g^*$ 光滑性的必要性仍为开放问题，因本文无法确认其是否严格必需。