[论文解读] Differential forms on diffeological spaces and diffeological gluing, I

Ekaterina Pervova|arXiv (Cornell University)|May 24, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了微分1-形式及其相关伪丛在微分同胚粘合（diffeological gluing）下的行为，该构造通过光滑映射将两个微分同胚空间粘合在一起。研究证明，粘合空间上1-形式的空间同构于在粘合区域上拉回一致的1-形式空间的纤维积；在微分同胚相容的条件下，粘合空间上1-形式的伪丛由向原始伪丛的光滑投影所刻画，从而实现了相容伪度量的构造。

ABSTRACT

This paper aims to describe the behavior of diffeological differential forms under the operation of gluing of diffeological spaces along a smooth map. In the diffeological context, two ways of looking at diffeological forms are available, that of the vector space of all diffeological forms on a given space, and that of the pseudo-bundle of values of these forms. We describe the behavior of the former under a gluing of diffeological spaces.

研究动机与目标

• 理解微分同胚空间上微分1-形式在粘合操作下的变换行为。
• 刻画沿微分同胚粘合时，微分同胚粘合空间上1-形式伪丛的结构。
• 从原始空间上给定的伪度量出发，构造粘合伪丛上的相容伪度量。
• 通过形式与度量的光滑相容性，为粘合空间上定义微分同胚联络提供一个框架。

提出的方法

• 本文将1-形式空间 $\Omega^1(X)$ 定义为对图（plots）的光滑赋值的微分同胚向量空间。
• 引入伪丛 $\Lambda^1(X)$ 作为 $X$ 中点上1-形式取值的纤维空间，其结构允许纤维维数不一致。
• 对于沿光滑映射 $f: Y \to X_2$ 的粘合（其中 $Y \subset X_1$），空间 $\Omega^1(X_1 \cup_f X_2)$ 被识别为 $\Omega^1(X_1) \times \Omega^1(X_2)$ 的子集，其中沿 $i$ 和 $f \circ j$ 的拉回一致。
• 当 $f$ 为微分同胚且满足 $\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ 条件时，$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上的微分同胚结构为使自然投影到 $\Lambda^1(X_1)$ 和 $\Lambda^1(X_2)$ 光滑的最粗结构。
• 在 $\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ 条件下，$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上的伪度量 $g^\Lambda$ 构造为给定伪度量 $g_1^\Lambda$ 与 $g_2^\Lambda$ 的直和的限制，其相容性由该条件保证。
• 通过验证其在光滑截面下的取值在图上光滑，来验证 $g^\Lambda$ 的光滑性，利用相容性条件将表达式在粘合区域统一。

实验结果

研究问题

• RQ1 微分同胚粘合两个空间沿光滑映射时，1-形式空间如何变换？
• RQ2 当通过微分同胚进行粘合时，伪丛 $\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 的结构是什么？
• RQ3 在什么条件下，可以从 $\Lambda^1(X_1)$ 和 $\Lambda^1(X_2)$ 上的相容伪度量诱导出 $\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上的伪度量？
• RQ4 $\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上的微分同胚结构与原始空间上的微分同胚结构有何关系？

主要发现

• 粘合空间 $X_1 \cup_f X_2$ 上的1-形式空间同构于 $\Omega^1(X_1) \times \Omega^1(X_2)$ 的子集，其中包含满足 $i^*\omega_1 = f^*j^*\omega_2$ 的对 $(\omega_1, \omega_2)$，$i$ 和 $j$ 为粘合区域的包含映射。
• 当 $f$ 为微分同胚且 $\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ 时，$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上的微分同胚结构为使自然投影到 $\Lambda^1(X_1)$ 和 $\Lambda^1(X_2)$ 光滑的最粗结构。
• 伪丛 $\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 的纤维同构于 $\Lambda^1(X_1)$ 或 $\Lambda^1(X_2)$ 的纤维，或其直积的子空间，其结构由粘合映射决定。
• 在 $\mathcal{D}_1^\Omega = \mathcal{D}_2^\Omega$ 条件下，$\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上的伪度量 $g^\Lambda$ 构造为 $g_1^\Lambda$ 与 $g_2^\Lambda$ 直和的限制，且被证明是光滑的。
• 通过相容性条件将表达式统一，$g^\Lambda$ 对光滑截面的取值在所有图上都是光滑的，其光滑性可归约为 $g_1^\Lambda$ 与 $g_2^\Lambda$ 的光滑性。
• 若 $\Lambda^1(X_1)$ 与 $\Lambda^1(X_2)$ 允许相容伪度量，则 $\Lambda^1(X_1 \cup_f X_2)$ 上可诱导出伪度量，如引理9.4所示。