[论文解读] Diffusion-based models for financial markets without martingale measures

Claudio Fontana, Wolfgang J. Runggaldier|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2012

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance参考文献 48被引用 18

一句话总结

本文证明，在无等价局部鞅测度（ELMM）的情况下，通过将增长最优投资组合（GOP）作为计价单位，以扩散过程建模的金融市场仍可保持可行性和完备性。研究证明，即使在存在泡沫或缺乏ELMM的模型中，也可通过GOP折现的物理测度下的期望值对衍生品进行定价与对冲，为风险中性定价提供了一种稳健的替代方案。

ABSTRACT

We consider a general class of diffusion-based models and show that, even in the absence of an Equivalent Local Martingale Measure, the financial market may still be viable, in the sense that strong forms of arbitrage are excluded and portfolio optimisation problems can be meaningfully solved. Relying partly on the recent literature, we provide necessary and sufficient conditions for market viability in terms of the market price of risk process and martingale deflators. Regardless of the existence of a martingale measure, we show that the financial market may still be complete and contingent claims can be valued under the original (real-world) probability measure, provided we use as numeraire the Growth-Optimal Portfolio.

研究动机与目标

• 在不存在等价局部鞅测度（ELMM）的情况下，建立金融市场保持可行——即无强套利——的条件。
• 证明即使缺乏ELMM，市场完备性与衍生品定价仍可实现，且依赖于增长最优投资组合（GOP）作为计价单位。
• 在物理测度下，利用GOP折现的期望值，为衍生品提供真实世界定价框架。
• 统一并扩展基于扩散模型的基准方法与随机投资组合理论的结果。
• 证明在对数效用下，效用无差异定价与以GOP为计价单位的真实世界定价一致。

提出的方法

• 作者在最小技术假设下分析一类基于扩散过程的金融模型，使用伊tô过程和局部鞅贴现因子作为关键工具。
• 定义并分析弱于NFLVR的无套利条件，特别关注第一类套利与持续盈利的缺失。
• 明确构造增长最优投资组合（GOP），作为唯一最大化长期增长的策略，并证明其生成计价单位组合。
• 识别出贴现因子的倒数为GOP价值过程，从而将无套利条件与GOP结构联系起来。
• 采用效用最大化与对偶方法，特别是对对数效用，推导出显式定价公式。
• 在马尔可夫假设下将结果扩展至不完全市场，利用GOP的马尔可夫性质，通过伊tô公式推导对冲策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不存在等价局部鞅测度（ELMM）时，金融市场是否仍可保持可行且无强套利？
• RQ2 在缺乏ELMM的情况下，市场完备性是否仍可实现？若可实现，需满足何种条件？
• RQ3 在真实世界概率测度下，是否可无风险中性测度地对衍生品进行有意义的定价与对冲？
• RQ4 增长最优投资组合（GOP）作为计价单位，在真实世界定价与对冲中起何作用？
• RQ5 对一般效用函数，效用无差异价格是否与以GOP为计价单位的真实世界折现期望一致？

主要发现

• 金融市场可行——即无第一类套利与持续盈利——当且仅当市场风险价格过程是平方可积的。
• 增长最优投资组合（GOP）存在且唯一，其价值过程作为计价单位组合，支持真实世界定价。
• 即使缺乏ELMM，衍生品仍可作为其在物理概率测度下收益的GOP折现期望进行估值。
• 对对数效用，对数效用无差异价格等于真实世界价格：$ p_{\log}(H) = \mathbb{E}\left[\frac{H}{V_T^{\pi^*}}\right] $，提供普适定价公式。
• GOP折现价值过程在物理测度下为鞅，其倒数为鞅贴现因子，从而将无套利条件与市场结构联系起来。
• 在马尔可夫设定下，基于GOP的定价与对冲框架可通过GOP的马尔可夫性质与伊tô公式扩展至不完全市场，实现显式策略构造。