[论文解读] Eigenvalues and structured properties of P-tensors

Yisheng Song, Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文基于P-张量的H-和Z-特征值，引入了两个新常数δ_H(𝒜)和δ_Z(𝒜)，并为表征P-张量性质的关键量α(F_𝒜)和α(T_𝒜)建立了紧致的上界。对于偶数阶P-张量，证明了α(F_𝒜) ≤ (δ_H(𝒜))^{1/(m−1)}和α(T_𝒜) ≤ δ_Z(𝒜)，二者均以对角线元素为上界，从而建立了特征值与P-张量结构之间的定量联系。

ABSTRACT

We define two new constants associated with real eigenvalues of a P-tensor. With the help of these two constants, in the case of P-tensors, we establish upper bounds of two important quantities, whose positivity is a necessary and sufficient condition for a general tensor to be a P-tensor.

研究动机与目标

• 基于P-张量的H-和Z-特征值，定义新常数δ_H(𝒜)和δ_Z(𝒜)，以分析其结构性质。
• 为α(F_𝒜)和α(T_𝒜)建立上界，这两个量是张量为P-张量的充要条件。
• 提供基于特征值的定量估计，建立P-张量对角线元素与其P-性质之间的联系，尤其针对偶数阶张量。
• 解决关于α(F_𝒜)和α(T_𝒜)下界及这些上界紧致性的开放问题。

提出的方法

• 将δ_H(𝒜)定义为𝒜的所有主子张量𝒜_r^J的最小H-特征值。
• 将δ_Z(𝒜)定义为𝒜的所有主子张量𝒜_r^J的最小Z-特征值。
• 利用H-和Z-特征值的变分刻画，推导出涉及满足∥y∥_∞ = 1的实向量y的不等式。
• 应用定义α(F_𝒜) = max_i y_i (F_𝒜(y))_i和α(T_𝒜) = max_i y_i (T_𝒜(y))_i，其中y为无穷范数为1的向量。
• 通过涉及y_i(𝒜y^{m−1})_i ≤ δ ∥y∥_∞^{m−2} ∥y∥_2^2的不等式建立上界，进而得出α(F_𝒜) ≤ δ_H(𝒜)^{1/(m−1)}和α(T_𝒜) ≤ δ_Z(𝒜)。
• 利用已知的P-张量结果，并结合𝒜是P-张量当且仅当α(T_𝒜) > 0（当m为偶数时）或α(F_𝒜) > 0（当m为偶数时）的事实，验证所建立的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于P-张量，量α(F_𝒜)和α(T_𝒜)是否具有正的下界？
• RQ2 为α(F_𝒜)和α(T_𝒜)推导出的上界是否为可能的最紧上界？
• RQ3 常数δ_H(𝒜)和δ_Z(𝒜)能否用于基于特征值表征P-张量性质？
• RQ4 P-张量的对角线元素如何约束α(F_𝒜)和α(T_𝒜)的取值？
• RQ5 主子张量的H-和Z-特征值与P-张量性质之间存在何种关系？

主要发现

• 对于偶数阶P-张量𝒜，量α(F_𝒜)的上界为(δ_H(𝒜))^{1/(m−1)}，其中δ_H(𝒜)为所有主子张量的最小H-特征值。
• 对于偶数阶P-张量𝒜，量α(T_𝒜)的上界为δ_Z(𝒜)，即所有主子张量的最小Z-特征值。
• 上界δ_H(𝒜) ≤ min_i a_{i⋯i}成立，因此当m为偶数时，有α(F_𝒜) ≤ (min_i a_{i⋯i})^{1/(m−1)}。
• 上界δ_Z(𝒜) ≤ min_i a_{i⋯i}成立，因此当m为偶数时，有α(T_𝒜) ≤ min_i a_{i⋯i}。
• 这些上界是紧致的，因为它们仅依赖于张量的对角线元素，并且由基于特征值的常数导出。
• 结果证实，当m为偶数时，α(F_𝒜) > 0和α(T_𝒜) > 0是张量为P-张量的充要条件，且这些上界为这些值提供了定量控制。