[论文解读] Entanglement in topological systems

Maria Hermanns|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Quantum many-body systems参考文献 63被引用 4

一句话总结

本文研究了纠缠作为探测二维量子系统中拓扑序的工具，重点探讨了纠缠熵和纠缠谱在检测和分类拓扑相中的作用。结果表明，纠缠谱——尤其是通过轨道、实空间和粒子切片——包含了关于拓扑序的普适信息，包括任意任何任何统计和量子维度；其中，粒子纠缠谱提供了一种数值上可行且物理上可解释的方法，用于识别准 hole 态和体相拓扑不变量。

ABSTRACT

These lecture notes on entanglement in topological systems are part of the 48th IFF Spring School 2017 on Topological Matter: Topological Insulators, Skyrmions and Majoranas at the Forschungszentrum Juelich, Germany. They cover a short discussion on topologically ordered phases and review the two main tools available for detecting topological order - the entanglement entropy and the entanglement spectrum.

研究动机与目标

• 建立纠缠熵和纠缠谱作为超越对称性破缺范式的识别与分类拓扑相的稳健工具。
• 阐明不同纠缠谱（轨道、实空间、粒子切片）之间的关系及其揭示拓扑序的能力。
• 证明粒子纠缠谱编码了准 hole 体态和体相拓扑不变量的信息，从而在相互作用体系中实现拓扑序的数值探测。
• 表明单体纠缠谱可探测非相互作用拓扑相，为边缘态分析提供了一种稳健的替代方法。

提出的方法

• 使用复制技巧计算 R\'enyi 熵，并从约化密度矩阵中提取冯 Neumann 纠缠熵。
• 通过将系统划分为空间区域并对约化密度矩阵进行对角化，分析轨道纠缠谱。
• 通过追踪部分粒子并构建 Fock 空间中的纠缠矩阵，引入粒子纠缠谱。
• 在非相互作用体系中应用相关矩阵方法，其中单体纠缠谱由限制在子系统 A 上的矩阵 ⟨gs|c†ᵢcⱼ|gs⟩ 推导得出。
• 利用共形场论解释粒子切片谱中低能纠缠能级的计数。
• 比较轨道、实空间和粒子纠缠谱中的态计数，发现在高角动量区域下三者等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 纠缠熵和谱在强关联体系（如任意任何子码和分数量子霍尔态）中如何揭示拓扑序？
• RQ2 纠缠谱的能级计数具有何种物理和拓扑意义，其与准 hole 激发的关系如何？
• RQ3 粒子纠缠谱能否作为相互作用体系中拓扑序的可靠且数值高效的探测工具？
• RQ4 不同纠缠谱（轨道、实空间、粒子）在多大程度上提供关于拓扑不变量的等价信息？
• RQ5 单体纠缠谱如何探测非相互作用体系中的拓扑序，其与边缘态分析相比有何优劣？

主要发现

• 拓扑序态（如任意任何子码和 Laughlin 态）的纠缠谱表现出一种普适结构，编码了任意任何子量子维度等拓扑不变量。
• 粒子纠缠谱正确再现了分数量子霍尔体系中准 hole 态的计数，低能能级数量与给定磁通和粒子数下的准 hole 态数量一致。
• 在高角动量区域，粒子、轨道和实空间纠缠谱具有相同的态计数，证实了它们在捕捉拓扑信息方面的等价性。
• 非相互作用拓扑体系的单体纠缠谱包含了与完整多体谱相同的拓扑信息，可稳健地用于识别拓扑相。
• 在某些情况下，纠缠谱比边缘模谱更能稳健地表征拓扑性，尤其是在存在无序或有限尺寸效应时。
• 数值证据表明，粒子纠缠谱达到了低能级数的理论上限，尽管完整的解析证明仍待解决。