[论文解读] Entrance and exit at infinity for stable jump diffusions

Leif Doering, Andreas E. Kyprianou|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文建立了由 $\alpha$-稳定 Lévy 过程驱动的单变量稳定跳跃扩散过程中在无穷远处进入与爆炸的必要且充分条件，其中 $\alpha \in (0,2)$。利用 Lamperti–Kiu 表示法、Wiener–Hopf 分解以及路径变换，本文表明当 $\alpha \in (0,1)$ 时会发生有限时间内的爆炸；而当 $\alpha \in [1,2)$ 时，从 $+\infty$ 或 $-\infty$ 进入是可能的，具体取决于扩散系数 $\sigma$ 的增长行为。结果将 Feller 的经典边界分类推广至具有无穷边界的一维跳跃扩散过程。

ABSTRACT

In his seminal work from the 1950s, William Feller classified all one-dimensional diffusions on $-\infty\leq a<b></b>

研究动机与目标

• 将 Feller 对扩散过程的边界分类方法推广至具有无穷边界的一维稳定跳跃扩散过程。
• 确定该过程在何时会发生有限时间内的爆炸或从 $+\infty$ 或 $-\infty$ 进入。
• 识别扩散系数 $\sigma$ 在无穷远处进入与爆炸的必要且充分条件。
• 通过使用现代路径变换技术克服经典 Hille–Yosida 理论的局限性，以处理稳定过程。

提出的方法

• 利用 Lamperti–Kiu 表示法将稳定过程表达为时间改变的 Lévy 过程。
• 对 Lévy 过程应用新的 Wiener–Hopf 分解，以分析首次 passage 与首次 hitting 时间。
• 采用 Riesz–Bogdan–Żak 变换，将自相似马氏过程的进入律与 Lévy 过程的永续积分联系起来。
• 利用 Hunt–Nagasawa 对偶性与 Getoor 对瞬时性/常返性的刻画，研究边界行为。
• 应用波动理论与尺度函数，推导出关于 $\sigma$ 的积分条件，以确定进入与爆炸行为。
• 结合经典半群理论与路径变换方法，建立进入律的存在性与正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\alpha \in (0,2)$ 的稳定跳跃扩散过程，在什么条件下会在无穷远处发生有限时间爆炸？
• RQ2 在何种情况下 $+\infty$ 或 $-\infty$ 成为其进入边界？
• RQ3 与无跳跃的扩散过程相比，跳跃的存在如何改变边界分类？
• RQ4 扩散系数 $\sigma$ 的增长速率在决定无穷远处的进入或爆炸行为中起什么作用？
• RQ5 从 $+\infty$ 和 $-\infty$ 同时进入是否可能发生？在何种条件下可能发生？

主要发现

• 当且仅当 $\alpha \in (0,1)$ 时，无穷远处的有限时间爆炸会发生，这与漂移或扩散系数无关，原因在于稳定 Lévy 过程的重尾特性。
• 当 $\alpha \in [1,2)$ 时，从 $+\infty$ 进入是可能的，当且仅当 $\int^{\infty} x \sigma(x)^{-2} dx < \infty$，这将 Feller 的条件推广至跳跃扩散过程。
• 当 $\alpha \in [1,2)$ 时，从 $-\infty$ 进入在类似积分条件下是可能的，具体取决于 $\sigma$ 在 $-\infty$ 处的行为。
• 当 $\alpha \in (1,2)$ 时，在 $\sigma$ 的适当增长条件下，可同时从 $+\infty$ 和 $-\infty$ 进入。
• 当 $\alpha = 1$ 时，若 $\sigma$ 满足与稳定过程的潜在测度相关的对数可积条件，则可从 $\pm\infty$ 进入。
• 本文证明经典 Feller 分类无法直接推广至跳跃扩散过程，因为跳跃过程可能同时表现出爆炸与无穷远处的进入，而这种现象在扩散情形中并不存在。