[论文解读] Enumerative invariants and wall-crossing formulae in abelian categories

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 152被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在阿贝尔范畴中处理枚举不变量的通用框架，利用模堆栈上的虚拟类与不变类，建立了一个墙穿跃公式，该公式通过射影线性模堆栈上同调的李代数结构，表达不同稳定性条件下的不变量。关键贡献在于系统性地将唐纳森-托马斯型不变量扩展至稳定=半稳定情形之外，该结果通过导出代数几何与同调上的顶点代数/李代数的几何与代数技术得以证明。

ABSTRACT

Enumerative invariants in Algebraic Geometry 'count' $τ$-(semi)stable objects $E$ with fixed topological invariants $[E]=a$ in some geometric problem, using a virtual class $[{\cal M}_a^{ m ss}(τ)]_{ m virt}$ in homology, for the moduli spaces ${\cal M}_a^{ m st}(τ)\subseteq{\cal M}_a^{ m ss}(τ)$ of $τ$-(semi)stable objects. We get numbers by taking integrals $\int_{[{\cal M}_a^{ m ss}(τ)]_{ m virt}}Υ$ for cohomology classes $Υ$. Let $\cal A$ be a $\mathbb C$-linear abelian category in Algebraic Geometry. There are two moduli stacks of objects in $\cal A$: the usual moduli stack $\cal M$, and the 'projective linear' moduli stack $\cal M^{ m pl}$. We give $H_*({\cal M})$ the structure of a vertex algebra, and $H_*({\cal M}^{ m pl})$ a Lie algebra. Virtual classes $[{\cal M}_a^{ m ss}(τ)]_{ m virt}$ lie in $H_*({\cal M}^{ m pl})$. We develop a universal theory of enumerative invariants in such $\mathcal A$. Virtual classes $[{\cal M}_a^{ m ss}(τ)]_{ m virt}$ are only defined when ${\cal M}_a^{ m st}(τ)={\cal M}_a^{ m ss}(τ)$. We define invariants $[{\cal M}_a^{ m ss}(τ)]_{ m inv}$ in $H_*({\cal M}^{ m pl})$ for all $a$, with $[{\cal M}_a^{ m ss}(τ)]_{ m inv}=[{\cal M}_a^{ m ss}(τ)]_{ m virt}$ when ${\cal M}_a^{ m st}(τ)={\cal M}_a^{ m ss}(τ)$. If $τ,τ'$ are stability conditions on $\cal A$, we prove a wall-crossing formula writing $[{\cal M}_a^{ m ss}(τ')]_{ m inv}$ in terms of the $[{\cal M}_b^{ m ss}(τ)]_{ m inv}$, using the Lie bracket on $H_*({\cal M}^{ m pl})$. We apply our results for $\cal A$ the representations of a quiver or quiver with relations, or coh$(X)$ for $X$ a curve, surface or Fano 3-fold, or a category of 'pairs' in coh$(X)$ for $X$ a curve or surface. This proves conjectures in Gross-Joyce-Tanaka arXiv:2005.05637.

研究动机与目标

• 将代数几何中出现的阿贝尔范畴中枚举不变量的理论，扩展至稳定=半稳定情形之外。
• 在 H*(Mpl) 中定义一个通用不变类 [Mss_α(τ)]_inv，当 Mst = Mss 时，该类推广了虚拟类 [Mss_α(τ)]_virt。
• 建立一个墙穿跃公式，通过 H*(Mpl) 上的李括号，将 [Mss_α(˜τ)]_inv 表示为 [Mss_β(τ)]_inv 的形式。
• 在关键几何设定下验证该框架：箭图表示、曲线、曲面及法诺 3-流形上的凝聚层，以及层对。
• 提出将该框架推广至 3- 和 4-卡勒-尤田范畴，作为现有唐纳森-托马斯理论的替代方案。

提出的方法

• 在通常模堆栈的同调 H*(M) 上构造一个分次顶点代数结构，并在射影线性模堆栈的同调 H*(Mpl) 上构造一个相关的分次李代数结构。
• 为所有 α ∈ C(A) 定义不变类 [Mss_α(τ)]_inv ∈ H*(Mpl)，当稳定性行为良好（即 Mst = Mss）时，该类与虚拟类一致。
• 利用 Gm-局部化与障碍理论技术，将虚拟类与等变同调联系起来，并通过李代数关系推导墙穿跃。
• 将该理论应用于 mod-CQ 与 mod-CQ/I（箭图表示）、X 为曲线、曲面或法诺 3-流形时的 coh(X)，以及 coh(X) 中的对 (ρ: V⊗L → E)。
• 在导出堆栈设定下，通过虚拟类上的李括号关系证明墙穿跃公式，依赖于有限性与紧致性假设。
• 通过稳定性房间分解的归纳法建立公式，通过有限性条件（假设 5.3(b)）仔细处理无穷级数与抵消。

实验结果

研究问题

• RQ1 当稳定对象与半稳定对象不同时，如何在阿贝尔范畴中一致地定义枚举不变量？
• RQ2 在稳定性条件变化时，不变量空间背后的代数结构是什么？
• RQ3 能否推导出一个通用的墙穿跃公式，将一种稳定性条件下的不变量表示为另一种条件下的不变量？
• RQ4 射影线性模堆栈 Mpl 的同调群如何编码不变量的墙穿跃行为？
• RQ5 该框架在凝聚层于卡勒-尤田 3- 和 4-流形，以及箭图表示上的适用范围有多大？

主要发现

• 本文在 H*(Mpl) 中构造了一个通用不变类 [Mss_α(τ)]_inv，将其从 Mst ≠ Mss 的情形下推广了虚拟类 [Mss_α(τ)]_virt。
• 证明了墙穿跃公式：[Mss_α(˜τ)]_inv 在 H*(Mpl) 中可表示为对所有满足 oβ = oα 的 β 的 [Mss_β(τ)]_inv 的李括号展开。
• 该公式在有限个假设（如紧致性、有限性、拟光滑性）下成立，这些假设在箭图表示及曲线、曲面与法诺 3-流形上的凝聚层中均已验证。
• 该理论适用于 coh(X) 中的对 (ρ: V⊗L → E)，从而可通过稳定对实现秩减少技术。
• 该框架证明了 Gross–Joyce–Tanaka [81] 的猜想，并为 3- 和 4-卡勒-尤田范畴中的唐纳森-托马斯理论提供了新方法。
• 证明过程中通过有限性条件避免了发散的无穷级数，确保了级数重排与抵消的合法性，且抵消过程为有限。