[论文解读] The homology of moduli stacks of complexes

Jacob Gross|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 77被引用 7

一句话总结

本文计算了光滑复射影代数簇中属于类 D 的模堆栈（如曲线、曲面、toric 变量和旗流形）上完美复形的有理同调，证明其同构于由拓扑 K-理论群 $K^0_{ m top}(X^{ m an}) \oplus K^1_{ m top}(X^{ m an})$ 构造的广义超格顶点代数。该构造通过普遍复形的陈类与对称化欧拉形式，实现了 Joyce 的顶点代数框架，为 Donaldson–Thomas 理论中的墙穿跃公式提供了显式实现。

ABSTRACT

We compute the rational homology of the moduli stack $\mathcal{M}$ of objects in the derived category of certain smooth complex projective varieties $X$ including toric varieties, flag varieties, curves, surfaces, and some 3- and 4-folds. We identify Joyce's vertex algebra construction on $H_\ast(\mathcal{M},\mathbb{Q})$ with a generalized super-lattice vertex algebra associated to $K^0_{ m top}(X^{ m an}) \oplus K^1_{ m top}(X^{ m an})$.

研究动机与目标

• 计算光滑复射影代数簇在类 D 中的完美复形模堆栈 $\mathcal{M}$ 的有理同调。
• 将 $H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上 Joyce 的顶点代数结构与以 $K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})$ 为基的广义超格顶点代数相联系。
• 通过陈类与欧拉形式显式实现顶点代数运算，从而为 DT 理论中的墙穿跃公式提供应用。
• 证明顶点代数结构在群上同调类 $[\epsilon] \in H^2(K^0_{\rm sst}(X), \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ 的选择下保持不变。

提出的方法

• 利用 $\mathcal{M}$ 的贝蒂数实现，证明其具有半拓扑 K-理论空间 $\Omega^\infty K^{\rm sst}(X)$ 的有理同伦型。
• 应用 Milnor–Moore 定理，当贝蒂数有限时，计算有理同调为 $\mathbb{Q}[K^0_{\rm sst}(X)] \otimes {\rm SSym}_{\mathbb{Q}}[\bigoplus_{i>0} K^i_{\rm sst}(X)]$。
• 依赖于：对于类 D 中的代数簇，有 $K^i_{\rm sst}(X) \cong K^i_{\rm top}(X^{\rm an})$（$i > 0$），从而可用拓扑 K-理论计算同调。
• 通过 $X \times \mathcal{M}$ 上的普遍复形 $\mathbb{E}^\bullet$ 构造顶点代数结构，使用 $\mathcal{E}{\rm xt}^\bullet = \mathbb{R}\pi_* (\pi^*\mathbb{E}^\bullet)^\vee \otimes^L \pi^*\mathbb{E}^\bullet$。
• 通过涉及 $\mu_{\alpha,w,k}$ 的上推与cap积定义场 $Y(u_{0,v,1}, z)$，其系数由欧拉形式 $\chi$ 或其对称化形式 $\chi_{\rm sym}$ 决定。
• 通过将场运算与顶点代数公理匹配，建立分次顶点代数的同构，使用 $\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q}) \cong V_{K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $X$ 属于类 D 时，光滑复射影代数簇上完美复形模堆栈 $\mathcal{M}$ 的有理同调如何与拓扑 K-理论相关联？
• RQ2 Joyce 在 $H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上的顶点代数结构能否通过陈类与欧拉形式显式实现？
• RQ3 对于类 D 中的 $X$，$H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上的精确顶点代数结构是什么？其是否依赖于 $X$ 是否为 Calabi–Yau？
• RQ4 $\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 上的场运算 $Y(u_{0,v,1}, z)$ 如何满足分次顶点代数的公理？
• RQ5 该顶点代数结构是否与符号选择 $\epsilon_{\alpha,\beta} = (-1)^{\chi(\alpha,\beta)}$ 无关？

主要发现

• 对于类 D 中的光滑复射影代数簇 $X$，有理同调 $H_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 同构于 $\mathbb{Q}[K^0_{\rm sst}(X)] \otimes {\rm SSym}_{\mathbb{Q}}[\bigoplus_{i>0} K^i_{\rm sst}(X)]$，且当 $i > 0$ 时，有 $K^i_{\rm sst}(X) \cong K^i_{\rm top}(X^{\rm an})$。
• 移位同调 $\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q})$ 装备有分次顶点代数结构，同构于以 $K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})$ 为基、欧拉形式 $\chi$ 为结构的广义超格顶点代数。
• 当 $X$ 为 $2n$-Calabi–Yau 时，顶点代数使用欧拉形式 $\chi$ 定义；否则使用对称化形式 $\chi_{\rm sym}$。
• 场 $Y(u_{0,v,1}, z)$ 通过涉及 $u_{\alpha,v,i+1}\eta$ 与 $\mu_{\alpha,w,k}$ 的 cap 积的项作用于 $\eta \in \hat{H}_*(\mathcal{M}_\alpha)$，其权重为 $\chi(v,w)$ 或 $\chi_{\rm sym}(v,w)$。
• 顶点代数同构 $\hat{H}_*(\mathcal{M}, \mathbb{Q}) \cong V_{K^0_{\rm top}(X^{\rm an}) \oplus K^1_{\rm top}(X^{\rm an})}$ 在符号选择 $\epsilon_{\alpha,\beta}$ 的选择下保持不变（至同构）。
• 该构造通过顶点代数运算（特别是场 $Y(u_{0,v,1}, z)$ 及其 $n$ 阶分量）显式实现了 Donaldson–Thomas 理论中的墙穿跃公式。