[论文解读] Equivariant ($K$-)homology of affine Grassmannian and Toda lattice

Roman Bezrukavnikov, Michael Finkelberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文计算了复数拟单李群 $ G $ 的仿射格拉斯曼流形的等变 K-同调与同调环，将其与朗兰兹对偶群 $ \check{G} $ 关联的几何对象相联系：等变同调环的谱微分同构于普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$，而等变 K-理论环的谱微分同构于 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$ 的变体，二者均带有自然的辛结构与泊松结构。这些结果通过 Toda 晶格系统在几何表示论与可积系统之间建立了深刻联系。

ABSTRACT

For an almost simple complex algebraic group $G$ with affine Grassmannian $Gr_G= G(C((t)))/G(C[[t]])$ we consider the equivariant homology $H^{G(C[[t]])}(Gr_G)$, and $K$-theory $K^{G(C[[t]])}(Gr_G)$. They both have a commutative ring structure, with respect to convolution. We identify the spectrum of homology ring with the universal group-algebra centralizer of the Langlands dual group $\check G$, and we relate the spectrum of $K$-homology ring to the universal group-group centralizer of $G$ and of $\check G$. If we add the loop-rotation equivariance, we obtain a noncommutative deformation of the ($K$)-homology ring, and thus a Poisson structure on its spectrum. We identify this structure with the standard one on the universal centralizer. The commutative subring of $G(C[[t]])$-equivariant homology of the point gives rise to a polarization which is related to Kostant's Toda lattice integrable system. We also compute the equivariant $K$-ring of the affine Grassmannian Steinberg variety. The equivariant $K$-homology of $Gr_G$ is equipped with a canonical base formed by the classes of simple equivariant perverse coherent sheaves. Their convolution is again perverse and is related to the Feigin-Loktev fusion product of $G(C[[t]])$-modules.

研究动机与目标

• 计算复数拟单李群 $ G $ 的仿射格拉斯曼流形 $\operatorname{Gr}_G$ 在 $ G(\mathbf{O}) $ 作用下的等变 K-理论与同调环。
• 将这些环的谱与朗兰兹对偶群 $ \check{G} $ 关联的几何对象——特别是普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}}$ 与 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}}$——相联系。
• 证明所得环自然携带辛结构与泊松结构，这些结构源于哈密顿约化与 q-哈密顿约化。
• 将这些环的非交换形变（通过 $ G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m $-等变性）与量子哈密顿约化及 Toda 晶格系统相联系。
• 证明 $ \operatorname{Gr}_G $ 上 $ G(\mathbf{O}) $-等变的 perverse 一致层的单子范畴是非对称的，尽管其格罗滕迪克环是交换的。

提出的方法

• 作者利用卷积图 $ G(\mathbf{F}) \times_{G(\mathbf{O})} \operatorname{Gr}_G \to \operatorname{Gr}_G $ 在等变一致层及其 K-理论与同调上定义了单子结构。
• 他们将 $ \operatorname{Spec}(H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G)) $ 识别为普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}} $，这是一个作为 $ T^*\check{G} $ 的哈密顿约化得到的辛流形。
• 他们将 $ \operatorname{Spec}(K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G)) $ 识别为 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}} $ 的变体，这是一个作为内部融合双倍 $ \mathbf{D}(\check{G}) $ 的 q-哈密顿约化得到的泊松流形。
• 他们通过环的旋转构造了 $ \mathbb{G}_m $-作用于 $ \operatorname{Gr}_G $，并研究 $ G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m $-等变层，以定义同调与 K-理论环的非交换形变。
• 他们推导出 $ K^{{G(\mathbf{O})}\ltimes\mathbb{G}_m}(\operatorname{Gr}_G) $ 中融合积的递推关系，如 $ q^{-l}{\mathbf{v}}(l+n)_1 \star {\mathbf{v}}(l)_1 = \sum q^{\text{coeff}} {\mathbf{v}}(\cdot)_m $，并将其与 Toda 晶格相联系。
• 他们利用 $ PGL_2 $ 情形的几何结构，通过非同构的卷积 $ \mathcal{V}(0)_1 \star \mathcal{V}(-2)_1 \not\cong \mathcal{V}(-2)_1 \star \mathcal{V}(0)_1 $ 证明了单子范畴的非对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ G(\mathbf{O}) $ 作用下，仿射格拉斯曼流形 $ \operatorname{Gr}_G $ 的等变 K-理论与同调环的结构是什么？
• RQ2 这些环如何与朗兰兹对偶群 $ \check{G} $ 的几何不变量（如其普遍中心化子）相联系？
• RQ3 通过 $ G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m $-等变性实现的这些环的非交换形变，能否被实现实为 $ \check{G} $ 上微分算子环的量子哈密顿约化？
• RQ4 为何 $ \operatorname{Gr}_G $ 上 $ G(\mathbf{O}) $-等变的 perverse 一致层的单子范畴是非对称的，尽管其格罗滕迪克环是交换的？
• RQ5 在 $ \operatorname{Gr}_{PGL_2} $ 上，$ G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m $-模的融合积如何与 $ K^{{G(\mathbf{O})}\ltimes\mathbb{G}_m}(\operatorname{Gr}_G) $ 中的卷积相联系？

主要发现

• 等变同调环 $ H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G) $ 的谱微分同构于普遍中心化子 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{\mathfrak{g}}} $，后者从余切丛 $ T^*\check{G} $ 继承了自然的辛结构。
• 等变 K-理论环 $ K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G) $ 的谱微分同构于 ${\mathfrak{Z}}^{\check{G}}_{\check{G}} $ 的变体，后者从内部融合双倍 $ \mathbf{D}(\check{G}) $ 的 q-哈密顿约化继承了自然的泊松结构。
• 当且仅当 $ \check{G} $ 是单连通时，$ K^{G(\mathbf{O})}(\operatorname{Gr}_G) $ 上的泊松结构才是辛的，即当 $ G $ 是伴随型时。
• 当 $ \check{G} $ 是伴随型时，环 $ H^{G(\mathbf{O})}_\bullet(\operatorname{Gr}_G) $ 微分同构于 Toda 相空间的坐标环，而该空间是经典 Toda 晶格的科斯特ant 相空间的复化。
• $ \operatorname{Gr}_{PGL_2} $ 上 $ G(\mathbf{O})\ltimes\mathbb{G}_m $-等变层的融合积满足如 $ q^{-l}{\mathbf{v}}(l+n)_1 \star {\mathbf{v}}(l)_1 = q^{-2l}{\mathbf{v}}(2l+n)_2 + \sum_{k\geq 2} q^{2k} {\mathbf{v}}(n-2k)_0 $ 的递推关系，其中最后一项依赖于 $ n $ 的奇偶性。
• 在 $ \operatorname{Gr}_G $ 上 $ G(\mathbf{O}) $-等变的 perverse 一致层的单子范畴是非对称的：对于 $ G = PGL_2 $，有 $ \mathcal{V}(0)_1 \star \mathcal{V}(-2)_1 \not\cong \mathcal{V}(-2)_1 \star \mathcal{V}(0)_1 $，这由范畴中非分裂的正合序列所证明。