[论文解读] Estimation of the Hurst and the stability indices of a $H$-self-similar stable process

Thi To Nhu Dang, Jacques Istas|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2015

Financial Risk and Volatility ModelingEconomics, Econometrics and Finance参考文献 17被引用 17

一句话总结

本文提出了一种新颖的估计方法，用于估计 $ H $-自相似对称 $ \alpha $-稳定过程的赫斯特参数 $ H $ 和稳定性指数 $ \alpha $，该方法基于 $ \beta $-负幂变差，其中 $ -\frac{1}{2} < \beta < 0 $。该方法在分数布朗运动和 $ S\alpha S $-稳定 Lévy 运动中，可获得一致估计量，并具有已知的收敛速率和渐近正态性，从而实现对 $ H $ 和 $ \alpha $ 的独立估计，而无需事先知道任一参数的值。

ABSTRACT

In this paper we estimate both the Hurst and the stable indices of a H-self-similar stable process. More precisely, let $X$ be a $H$-sssi (self-similar stationary increments) symmetric $\\alpha$-stable process. The process $X$ is observed at points $\\frac{k}{n}$, $k=0,\\ldots,n$. Our estimate is based on $\\beta$-variations with $-\\frac{1}{2}&lt;\\beta&lt;0$. We obtain consistent estimators, with rate of convergence, for several classical $H$-sssi $\\alpha$-stable processes (fractional Brownian motion, well-balanced linear fractional stable motion, Takenaka's processes, L\\'evy motion). Moreover, we obtain asymptotic normality of our estimators for fractional Brownian motion and L\\'evy motion. Keywords: H-sssi processes; stable processes; self-similarity parameter estimator; stability parameter estimator.

研究动机与目标

• 开发 $ H $-sssi 对称 $ \alpha $-稳定过程的自相似参数 $ H $ 和稳定性指数 $ \alpha $ 的一致估计量。
• 实现在不依赖于任一参数先验知识的前提下，对 $ H $ 和 $ \alpha $ 进行独立估计。
• 在负幂变差的协方差结构具有普遍条件的前提下，建立所提估计量的收敛速率和渐近正态性。
• 在经典过程（如分数布朗运动、$ S\alpha S $-稳定 Lévy 运动等）上验证该方法。

提出的方法

• 估计基于在离散时间点 $ \frac{k}{n} $ 上观测到的过程 $ X $ 的 $ \beta $-负幂变差，其中 $ -\frac{1}{2} < \beta < 0 $。
• 该方法依赖于 $ |\Delta_{k,1}X|^\beta $ 的矩和协方差的存在性，由于稳定分布的密度性质，这些矩和协方差在 $ \beta \in (-\frac{1}{2}, 0) $ 范围内是良好定义的。
• 在负幂变差系列协方差的一般假设下，推导出一致性和收敛速率。
• 在分数布朗运动和 $ S\alpha S $-稳定 Lévy 运动的情况下，建立了估计量的渐近正态性。
• 该方法避免了对底层过程高阶矩存在的假设。
• 通过详细分析四种经典 $ H $-sssi $ \alpha $-稳定过程，验证了理论结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在统一框架下，为 $ H $-sssi $ \alpha $-稳定过程中的 $ H $ 和 $ \alpha $ 构造一致且渐近正态的估计量？
• RQ2 能否在不假设 $ \alpha $ 知识的前提下估计 $ H $，反之亦然？
• RQ3 所提估计量在不同类别的 $ H $-sssi $ \alpha $-稳定过程中，其收敛速率如何？
• RQ4 估计量的渐近正态性在何种条件下成立？

主要发现

• 在负幂变差协方差结构的一般假设下，所提的 $ H $ 和 $ \alpha $ 估计量具有一致性。
• 对于分数布朗运动和 $ S\alpha S $-稳定 Lévy 运动，估计量在收敛速率 $ n^{-\frac{1}{2}} $ 下实现渐近正态性。
• 该方法允许对 $ H $ 和 $ \alpha $ 进行独立估计，而无需事先知道任一参数。
• 估计量的收敛速率为 $ O(n^{-1/2}) $，适用于分数布朗运动和 $ S\alpha S $-稳定 Lévy 运动。
• 通过分析四种经典过程（分数布朗运动、$ S\alpha S $-稳定 Lévy 运动、平衡线性分数稳定运动和 Takenaka 的过程）验证了理论收敛速率。
• 该方法对高阶矩缺失具有鲁棒性，因为它仅依赖于 $ \beta \in (-\frac{1}{2}, 0) $ 范围内负幂变差的存在性。