[论文解读] European Option Pricing Under Generalized Tempered Stable Process: Empirical Analysis

A. H. Nzokem|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2023

Stochastic processes and financial applicationsEconomics, Econometrics and Finance被引用 3

一句话总结

本文提出在广义调和稳定（GTS）分布下对欧洲期权进行定价，基于标普500指数收益数据，应用埃舍尔变换以保持分布结构，并通过分数阶快速傅里叶变换（FRFT）与12点复合牛顿-科特斯求积法计算期权价格。主要发现为：在GTS分布下，布莱克-斯科尔斯模型对平值与实值期权存在低估现象，而对极虚值与极实值期权则给出相同价格。

ABSTRACT

The paper investigates the performance of the European option price when the log asset price follows a rich class of Generalized Tempered Stable (GTS) distribution. The GTS distribution is an alternative to Normal distribution and $α$-stable distribution for modeling asset return and many physical and economic systems. The data used in the option pricing computation comes from fitting the GTS distribution to the underlying S\&P 500 Index return distribution. The Esscher transform method shows that the GTS distribution preserves its structure. The extended Black-Scholes formula and the Generalized Black-Scholes Formula are applied in the study. The 12-point rule Composite Newton-Cotes Quadrature and the Fractional Fast Fourier (FRFT) algorithms were implemented, and they yield the same European option price at two decimal places. Compared to the option price under the GTS distribution, the Black-Scholes (BS) model is underpriced for the Near-The-Money (NTM) and the in-the-money (ITM) options. However, the BS model and GTS European options yield the same option price for the deep out-of-the-money (OTM) and the deep-in-the-money (ITM) options.

研究动机与目标

• 研究在广义调和稳定（GTS）分布下进行欧洲期权定价，作为正态分布与α稳定分布的替代方案。
• 解决布莱克-斯科尔斯模型的局限性，特别是其无法捕捉资产收益的厚尾与偏度特征。
• 基于标普500指数收益数据，对七参数GTS分布进行经验校准。
• 在不同平价程度与到期期限下，比较布莱克-斯科尔斯模型与基于GTS的模型在期权定价性能上的差异。
• 验证两种计算方法——FRFT与12点复合牛顿-科特斯求积法——在GTS框架下的定价一致性。

提出的方法

• 基于历史标普500指数收益数据，对七参数GTS分布进行经验拟合，以刻画对数资产价格动态。
• 应用埃舍尔变换推导等价鞅测度（EMM），确保在风险中性测度下GTS分布的结构得以保持。
• 采用扩展布莱克-斯科尔斯公式，利用分数阶快速傅里叶变换（FRFT）算法计算累积分布函数（CDF）。
• 使用12点规则复合牛顿-科特斯求积法计算广义布莱克-斯科尔斯公式，作为数值基准。
• 通过比较两种计算方法所得期权价格至小数点后两位，验证其一致性。
• 分析布莱克-斯科尔斯模型与基于GTS的模型在不同平价程度与到期期限下的定价误差。

(a) S&P 500 daily price

实验结果

研究问题

• RQ1 与布莱克-斯科尔斯模型相比，GTS分布在捕捉资产收益的典型特征方面，如何提升期权定价的准确性？
• RQ2 在GTS框架下，FRFT与复合牛顿-科特斯求积法在多大程度上能产生一致的欧洲期权价格？
• RQ3 布莱克-斯科尔斯模型与基于GTS的模型之间的定价差异如何随期权平价程度与到期时间变化？
• RQ4 在不同平价区间内，布莱克-斯科尔斯模型是否系统性地低估或高估期权价格？
• RQ5 在极实值与极虚值期权中，布莱克-斯科尔斯与基于GTS的模型之间的定价误差在量级与模式上如何表现？

主要发现

• FRFT与12点复合牛顿-科特斯求积法在GTS分布下计算出的欧洲期权价格在小数点后两位完全一致，证实了数值方法的稳健性。
• 与基于GTS的模型相比，布莱克-斯科尔斯模型对平值（NTM）与实值（ITM）期权存在低估，表明BS框架中存在显著的定价偏差。
• 对于极虚值（OTM）与极实值期权，布莱克-斯科尔斯模型与基于GTS的模型给出相同的期权价格，表明在极端平价区间下二者趋于收敛。
• 在GTS模型下，布莱克-斯科尔斯模型对虚值期权的定价误差为正（即高估），对平值与实值期权的定价误差为负（即低估），与方差-伽马过程下的发现一致。
• 在GTS模型下的定价误差量级与方差-伽马过程中的观测结果略有不同，表明两种模型在尾部行为与偏度动态方面存在差异。
• 等价鞅测度（EMM）存在于GTS分布中，且埃舍尔变换保持了GTS的结构，验证了其在风险中性定价中的适用性。

(b) S&P 500 daily Return ( $\%$ )