[论文解读] Exact results for boundaries and domain walls in 2d supersymmetric theories

Daigo Honda, Takuya Okuda|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用 13

一句话总结

本文利用超对称局部化方法，计算了二维 ${\cal N}=(2,2)$ 规范线性sigma模型中B型D-brane的精确半球分区函数，表明结果仅依赖于D-brane的K-理论类。通过基于局部化的精确计算，补全了通过异常流入确定中心荷的公式，并将域墙构作产物理论中的D-brane，实现了 $sl(2)$ 仿射赫克代数，并通过AGT对偶与四维线算符建立联系。

ABSTRACT

We apply supersymmetric localization to N=(2,2) gauged linear sigma models on a hemisphere, with boundary conditions, i.e., D-branes, preserving B-type supersymmetries. We explain how to compute the hemisphere partition function for each object in the derived category of equivariant coherent sheaves, and argue that it depends only on its K theory class. The hemisphere partition function computes exactly the central charge of the D-brane, completing the well-known formula obtained by an anomaly inflow argument. We also formulate supersymmetric domain walls as D-branes in the product of two theories. In particular 4d line operators bound to a surface operator, corresponding via the AGT relation to certain defects in Toda CFT's, are constructed as domain walls. Moreover we exhibit domain walls that realize the sl(2) affine Hecke algebra.

研究动机与目标

• 通过超对称局部化方法，计算二维 ${\cal N}=(2,2)$ 理论中保留B型超对称的D-brane的精确半球分区函数。
• 确立半球分区函数仅依赖于D-brane的K-理论类，确认并补全了中心荷的异常流入公式。
• 将域墙构作两个理论乘积中的D-brane，通过AGT对偶实现四维线算符的构造。
• 在二维 ${\cal N}=(2,2)$ 理论的背景下，通过域墙实现 $sl(2)$ 仿射赫克代数。
• 将框架扩展至包含扭曲质量与 $G_{\text{F}}$-等变结构，推广至等变K-理论。

提出的方法

• 应用超对称局部化方法，计算保留B型超对称的D-brane的半球分区函数 $Z_{\text{hem}}({\cal B}; t; m)$。
• 将半球视为 $S^2$ 的一半，边界态为 $|{\cal B}\rangle$，真空态为 $|{\bf 1}\rangle$，因此 $Z_{\text{hem}} = \langle{\cal B}|{\bf 1}\rangle$。
• 通过插入被局部化超荷消灭的算符的路径积分，定义配对 $\langle{\cal B}|{\tt f}\rangle$，推广分区函数。
• 在等变凝聚层的导出范畴框架下工作，表明分区函数仅依赖于D-brane的K-理论类。
• 将域墙构作两个理论乘积中的D-brane，实现通过AGT对应关系的四维线算符。
• 使用上链映射与映射锥处理发散积分，通过留数计算与连接公式，实现相变之间的解析延拓（例如，从 $r \gg 0$ 到 $r \ll 0$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维 ${\cal N}=(2,2)$ 理论中，B-brane的半球分区函数是否仅依赖于其K-理论类？
• RQ2 超对称局部化能否提供D-brane中心荷的精确计算，从而补全异常流入公式？
• RQ3 如何系统地将二维 ${\cal N}=(2,2)$ 理论中的域墙构作成产物理论中的D-brane？
• RQ4 能否通过此类二维理论中的域墙实现 $sl(2)$ 仿射赫克代数？
• RQ5 扭曲质量与 $G_{\text{F}}$-等变性如何影响半球分区函数的结构及其解析延拓？

主要发现

• 半球分区函数 $Z_{\text{hem}}({\cal B})$ 仅依赖于D-brane的K-理论类，确认了中心荷在塌缩胶子凝聚下的拓扑不变性。
• 精确分区函数计算了D-brane的中心荷，补全了此前仅在大体积极限下已知的异常流入公式。
• 对于 $\mathbb{P}^1$ D-brane $i_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$，在 $r \gg 0$ 相中，分区函数由涉及 $\Gamma$-函数与 $t$、$m_f$、$\tilde{m}_f$ 指数项的围道积分给出，收敛条件为 $\text{Re}(t) > 0$。
• 在 $r \ll 0$ 相中，$i_*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2)[1]$ 的分区函数表示为包含超几何函数 ${}_2F_1$ 的留数和，显式依赖于 $e^t$ 与 $\Gamma$-比值。
• 通过两个D-brane的映射锥构造，实现了相之间的解析延拓，消除了发散项，得到在 $-2\pi < \theta < 0$ 范围内的收敛积分，与已知的连接公式一致。
• 该构造通过域墙实现了 $sl(2)$ 仿射赫克代数，分区函数通过 $\Gamma$-函数积分与单值性性质编码了代数关系。