[论文解读] Exactly Solvable Lattice Hamiltonians and Gravitational Anomalies

Yu-An Chen, Po-Shen Hsin|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2021

Topological Materials and Phenomena参考文献 63被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种通用构造方法，用于在任意时空维度下构建任意任何ons的玻色子非群上同调可逆拓扑相的精确可解格点哈密顿量，采用在单纯剖分或超立方格点上的对易投影算符哈密顿量。通过在父代群上同调拓扑序中规范化一形式和二形式对称性，作者实现了具有引力异常的 (4+1)D $\bbZ_2$-对称可逆相，包括一个二阶非平凡量子细胞自动机和一个能隙对称边界态。

ABSTRACT

We construct infinitely many new exactly solvable local commuting projector lattice Hamiltonian models for general bosonic beyond group cohomology invertible topological phases of order two and four in any spacetime dimensions, whose boundaries are characterized by gravitational anomalies. Examples include the beyond group cohomology invertible phase without symmetry in (4+1)D that has an anomalous boundary $\mathbb{Z}_2$ topological order with fermionic particle and fermionic loop excitations that have mutual $π$ statistics. We argue that this construction gives a new non-trivial quantum cellular automaton (QCA) in (4+1)D of order two. We also present an explicit construction of gapped symmetric boundary state for the bosonic beyond group cohomology invertible phase with unitary $\mathbb{Z}_2$ symmetry in (4+1)D. We discuss new quantum phase transitions protected by different invertible phases across the transitions.

研究动机与目标

• 为任意时空维度下的玻色子非群上同调可逆拓扑相开发一种通用的精确可解哈密顿量构造方法。
• 通过在父代群上同调拓扑序模型中规范化一形式和二形式对称性，实现此类相。
• 展示这些相的边界理论中引力异常的存在性，特别是在 (4+1)D 中。
• 为 (4+1)D $\bbZ_2$-对称的非群上同调相构造一个能隙对称边界态。
• 识别由具有不同拓扑不变量的可逆相保护的新类型量子相变。

提出的方法

• 构造始于一个由 $\bbZ_2$-取值的 2-形式和 3-形式规范场 $A_2$ 与 $B_3$ 描述的父代群上同调拓扑序相。
• 波函数通过相位因子 $e^{i\theta}$ 构建，其中 $\theta = \frac{\theta}{2}\theta$ 由一个 4-维上循环 $\theta_4(a,b)$ 导出，该上循环是 5-维作用量的上边界。
• 体哈密顿量通过幺正变换 $H = U H_0 U^\dagger$ 从一个平凡哈密顿量 $H_0 = -\sum_e X_e - \sum_f X_f$ 推导得出，其中 $U$ 实现了拓扑序。
• 通过 Wu 公式修改作用量，将 $B_3 \bigcup_1 B_3 = w_2 \bigcup B_3$ 表达，从而在规范化后识别出有效作用量 $\pi \int w_2 \bigcup w_3$。
• 所得哈密顿量为局部对易投影算符之和，定义在任意单纯剖分或超立方格点上，且具有有限维局部希尔伯特空间。
• 边界态通过截断体哈密顿量获得，保持对称性与能隙结构，并实现具有费米统计的 $\bbZ_2$ 拓扑序。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意时空维度下的一般玻色子非群上同调可逆拓扑相构造精确可解的格点哈密顿量？
• RQ2 在缺乏全局对称性的情况下，引力异常如何在这些格点模型的边界上体现？
• RQ3 一形式和二形式对称性在通过规范化实现非平凡拓扑序中起什么作用？
• RQ4 能否为 (4+1)D $\bbZ_2$-对称的非群上同调相显式构造一个能隙对称边界态？
• RQ5 由具有非平凡cobordism不变量的可逆相保护的新类型量子相变是什么？

主要发现

• 作者为 (4+1)D 非群上同调可逆相构造了一个精确可解的哈密顿量，其有效作用量为 $\pi \int w_2 \bigcup w_3$，通过规范化一形式和二形式对称性实现。
• 该模型在 (4+1)D 中实现了非平凡的二阶量子细胞自动机，证实了一类新的拓扑序。
• 该 (4+1)D $\bbZ_2$-对称相的边界表现出具有费米统计的 $\bbZ_2$ 拓扑序，其粒子激发与弦激发相互编织，具有 $\pi$ 统计。
• 为 (4+1)D $\bbZ_2$-对称相显式构造了一个能隙对称边界态，保持了对称性与拓扑序。
• 该方法可推广至任意时空维度，并适用于所有在叠加下阶为二或四的玻色子可逆相，且具有有限维局部希尔伯特空间。
• 该构造证实，不同非群上同调相之间的界面即使在无 Poincaré 对称性的格点模型中，也受到 't Hooft 异常与引力异常的保护。