[论文解读] Examples of asymptotically conical Ricci-flat K\

Craig van Coevering|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文通过证明每个三维 Gorenstein toric Kähler 锥面都存在一个保全的解析展开，该展开在每个 Kähler 类中支持一个渐近于锥面度量的完备 Ricci-flat Kähler 度量，从而构造出无穷多个新的渐近于锥形的 Ricci-flat Kähler 流形。此外，本文还提供了两组具有不同拓扑不变量的超曲面奇点，分别产生 b₃(Y) = 0 或 b₃(Y) > 0 的例子。

ABSTRACT

The author has proved that a crepant resolution Y of a Ricci-flat K\{a}hler cone X admits a complete Ricci-flat K\{a}hler metric asymptotic to the cone metric in every K\{a}hler class in H^2_c(Y,\R). These manifolds are generalizations of the Ricci-flat ALE K\{a}hler spaces known by the work of P. Kronheimer, D. Joyce and others. This article considers further the problem of constructing examples. We show that every 3-dimensional Gorenstein toric K\{a}hler cone admits a crepant resolution for which the above theorem applies. This gives infinitely many examples of asymptotically conical Ricci-flat manifolds. Then other examples are given of which are crepant resolutions hypersurface singularities which are known to admit Ricci-flat K\{a}hler cone metrics by the work of C. Boyer, K. Galicki, J. Koll\'{a}r, and others. Two families of hypersurface examples are given which are distinguished by the condition b_3(Y)=0 or b_3(Y)>0.

研究动机与目标

• 将 Ricci-flat Kähler 度量的构造从已知的 ALE 空间扩展到渐近于锥形的流形。
• 识别出一类广义奇点，其保全解析展开支持完备的 Ricci-flat Kähler 度量。
• 提供具有可控拓扑结构的此类流形的显式无穷族，尤其通过 b₃(Y) 区分不同情形。
• 将先前关于保全解析展开上 Ricci-flat 度量的结果推广至渐近于锥形的情形。

提出的方法

• 证明每个三维 Gorenstein toric Kähler 锥面都存在一个保全解析展开，该展开在每个 Kähler 类中支持一个完备的 Ricci-flat Kähler 度量。
• 应用关于 Ricci-flat Kähler 度量在 Ricci-flat Kähler 锥面的保全解析展开上存在的通用存在性定理。
• 利用 toric 几何和 Gorenstein toric 奇点的分类，构造显式例子。
• 分析解析展开的拓扑结构，特别关注第三贝蒂数 b₃(Y)，以区分两类流形。
• 利用已知结果：由 Boyer、Galicki、Kollár 等人建立的关于超曲面奇点是否允许 Ricci-flat Kähler 锥面度量的研究。
• 根据 b₃(Y) 的取值区分例子，得到两类：一类满足 b₃(Y) = 0，另一类满足 b₃(Y) > 0。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些奇点类允许其保全解析展开支持渐近于锥面度量的完备 Ricci-flat Kähler 度量？
• RQ2 是否可以保证所有三维 Gorenstein toric Kähler 锥面都存在此类度量？
• RQ3 哪些拓扑不变量（如 b₃(Y)）可用来区分这些渐近于锥形的 Ricci-flat 流形的不同族？
• RQ4 解析展开的拓扑性质如何与原始锥面的几何结构相关联？
• RQ5 能否为具有可控贝蒂数的此类流形的无穷族提供显式构造？

主要发现

• 每个三维 Gorenstein toric Kähler 锥面都存在一个保全解析展开，该展开在每个 Kähler 类中支持一个完备的 Ricci-flat Kähler 度量。
• 通过该方法构造出无穷多个新的渐近于锥形的 Ricci-flat Kähler 流形。
• 两组不同的超曲面奇点分别产生 b₃(Y) = 0 和 b₃(Y) > 0 的保全解析展开。
• 该构造将已知的 ALE 空间上 Ricci-flat 度量的结果推广至渐近于锥形的情形。
• 解析展开的拓扑结构，特别是 b₃(Y)，作为关键不变量，用于分类所得的 Ricci-flat 流形。
• 结果证实了在已知具有 Ricci-flat Kähler 锥面度量的奇点的保全解析展开上，Ricci-flat 度量的存在性。