[论文解读] Asymptotically conical Calabi-Yau metrics on quasi-projective varieties

Ronan J. Conlon, Hans‐Joachim Hein|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 50被引用 4

一句话总结

本文证明了在准射影簇 $X \setminus D$ 上存在且唯一存在渐近锥状的 Calabi-Yau 度量，其中 $X$ 是紧致 Kähler 群簇，$D$ 是满足 $-pK_X = q[D]$ 且 $q > p$ 的 Fano 子群簇除子。当 $D$ 为 Kähler-Einstein 时，证明了每个 Kähler 类在 $X \setminus D$ 上存在唯一的 Ricci 平坦 Kähler 度量，其在无穷远处渐近于锥度量，衰减速率为 $O(r^{-1-\varepsilon})$；并通过利用不规则 Sasaki-Einstein 结构，将结果推广至非 Kähler-Einstein 情况，衰减速率为 $O(r^{-0.0128})$，从而首次构造出具有不规则切锥和欧氏体积增长的仿射 Calabi-Yau 流形。

ABSTRACT

Let X be a compact Kahler orbifold without \C-codimension-1 singularities. Let D be a suborbifold divisor in X such that D \supset Sing(X) and -pK_X = q[D] for some p, q \in \N with q > p. Assume that D is Fano. We prove the following two main results. (1) If D is Kahler-Einstein, then, applying results from our previous paper, we show that each Kahler class on X\D contains a unique asymptotically conical Ricci-flat Kahler metric, converging to its tangent cone at infinity at a rate of O(r^{-1-ε}) if X is smooth. This provides a definitive version of a theorem of Tian and Yau. (2) We introduce new methods to prove an analogous statement (with rate O(r^{-0.0128})) when X = Bl_{p}P^3 and D = Bl_{p_1,p_2}P^2 is the strict transform of a smooth quadric through p in P^3. Here D is no longer Kahler-Einstein, but the normal S^1-bundle to D in X admits an irregular Sasaki-Einstein structure which is compatible with its canonical CR structure. This provides the first example of an affine Calabi-Yau manifold of Euclidean volume growth with irregular tangent cone at infinity.

研究动机与目标

• 推广并优化 Tian-Yau 定理，即在准射影簇 $X \setminus D$ 上存在完备 Ricci 平坦 Kähler 度量的结论。
• 建立曲率与度量收敛至无穷远处切锥的精确渐近衰减速率。
• 当 $D$ 非 Kähler-Einstein 时，通过在法丛上利用不规则 Sasaki-Einstein 结构，构造一类新的 Calabi-Yau 度量。
• 提供首个具有欧氏体积增长和不规则切锥的仿射 Calabi-Yau 流形的实例。
• 通过群簇与代数几何技术，统一并拓展先前关于渐近锥状 Calabi-Yau 度量的研究成果。

提出的方法

• 利用 Calabi 试探法，在线丛 $K_D^{-p}$ 的全空间上通过邻接同构 $N_D^{q-p} \cong K_D^{-p}$ 构造一个模型 Ricci 平坦 Kähler 锥度量。
• 应用指数映射 $\exp: N_D \to X$ 将锥度量从锥拉回到 $X$ 中 $D$ 的邻域，从而实现渐近分析。
• 通过连续性方法与加权 Sobolev 估计，证明每个 Kähler 类在 $X \setminus D$ 上存在且唯一存在 Ricci 平坦 Kähler 度量。
• 引入新的几何技巧处理非 Kähler-Einstein 情况，特别是利用了 $D$ 在 $X$ 中的单位法丛上存在不规则 Sasaki-Einstein 结构的事实。
• 通过显式坐标图与亚纯体积形式，验证 $X \setminus \{p_9\}$ 上的全局全纯结构与典范丛的平凡性。
• 利用加权 $L^2$-估计与曲率及度量差异相对于模型锥度量的衰减估计，分析度量的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 Tian-Yau 定理关于渐近锥状 Calabi-Yau 度量是否可被强化，以包含曲率与度量收敛的精确衰减速率？
• RQ2 当 $D$ 非 Kähler-Einstein 但具有不规则 Sasaki-Einstein 结构时，$X \setminus D$ 上 Calabi-Yau 度量的渐近几何结构如何变化？
• RQ3 是否可能在具有不规则切锥于无穷远处且具有欧氏体积增长的准射影簇上构造 Calabi-Yau 度量？
• RQ4 当 $D$ 上存在 Kähler-Einstein 度量时，其如何影响 $X \setminus D$ 上 Ricci 平坦度量的渐近行为？
• RQ5 $X$ 的群簇结构与子群簇除子 $D$ 在此类度量的存在性与唯一性中起到何种作用？

主要发现

• 当 $D$ 为 Kähler-Einstein 且 $X$ 光滑时，每个 Kähler 类在 $X \setminus D$ 上存在唯一的 Ricci 平坦 Kähler 度量 $\omega_c$，其在无穷远处以速率 $O(r^{-1-\varepsilon})$ 收敛至其切锥，对任意 $\varepsilon > 0$ 成立。
• 度量 $\omega_c$ 满足衰减估计 $|\nabla^{k}_{g_0}(\exp^*(g_c) - c g_0)|_{g_0} \leq C(k) r^{-\lambda - k}$，其中 $\lambda = \min\{2 - \varepsilon, \frac{n}{\alpha - 1}\}$，$\alpha = q/p > 1$。
• 当 $X = \mathrm{Bl}_p \mathbb{P}^3$ 且 $D = \mathrm{Bl}_{p_1,p_2} \mathbb{P}^2$ 为通过 $p$ 的光滑二次曲面的严格提升时，尽管 $D$ 非 Kähler-Einstein，度量仍存在，且衰减速率为 $O(r^{-0.0128})$。
• 在 $X$ 中 $D$ 的法 $\mathbb{S}^1$-丛上存在与之典范 CR 结构相容的不规则 Sasaki-Einstein 结构，从而实现了非 Kähler-Einstein 情况下的构造。
• 该构造首次给出了具有欧氏体积增长和不规则切锥于无穷远处的仿射 Calabi-Yau 流形的已知实例。
• 度量 $\omega_c$ 关于保持 Kähler 类与模型锥度量的 $(X,D)$ 自同构保持不变，且对所有 $t > 0$ 满足缩放关系 $\omega_{tc,t\mathfrak{k}} = t \omega_{c,\mathfrak{k}}$。