[论文解读] Existence of constant scalar curvature Kaehler cone metrics, properness and geodesic stability

Kai Zheng|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 88被引用 5

一句话总结

该论文建立了具有锥奇点的常数量曲率凯勒（cscK）锥度量存在性、对数K-能量泛函的正则性以及测地线稳定性的等价性。通过逼近方法和加权霍尔德估计，作者将陈-程关于光滑cscK度量的结果推广至锥情形，证明了在正则性条件下的存在性，并建立了大上同调类中cscK锥度量的开性与逼近性质，包括允许退化的奇异cscK度量。

ABSTRACT

We show that the existence of constant scalar curvature Kähler (cscK) metrics with cone singularities is equivalent to the properness of log $K$-energy. We also prove their equivalence to the geodesic stability. They are extensions of the solution of the properness conjecture and Donaldson's geodesic stability conjecture of the cscK problem for smooth Kähler metrics by Chen-Cheng to the setting of cscK cone metrics. One applications of our main results is that we introduce and construct singular cscK metrics with possible degeneration in big cohomology class. As another application, we also prove both openness and approximation property for the path of cscK cone metrics, which are paralleling to Donaldson's continuity method through Kähler-Einstein cone metrics in the resolution of Yau-Tian-Donaldson conjecture for Fano Kähler-Einstein metrics.

研究动机与目标

• 将陈-程关于光滑cscK度量的正则性与测地线稳定性猜想推广至具有锥奇点的锥情形。
• 在大上同调类中建立奇异cscK度量的存在性，允许退化现象超出通常的凯勒类设定。
• 证明cscK锥度量路径的开性与逼近性质，类比唐纳森的连续性方法。
• 将cscK度量的概念推广至包含大上同调类中可能奇异或退化的度量。
• 通过正则性与测地线稳定性准则，确认锥情形下的丘-田-唐纳森猜想。

提出的方法

• 使用逼近方法，通过求解带扰动参考度量与锥角的扭转cscK方程来构造cscK锥度量。
• 应用加权霍尔德空间与几何拟齐次性，处理除子附近cscK锥度量的正则性。
• 利用辅助函数、截断函数与迭代不等式，建立先验估计，包括$L^∞$、$W^{2,p}$与$C^{1,1}$估计。
• 通过$d_1$-距离有界与对数K-能量在锥角参数下的连续性，证明近似解序列的收敛性。
• 利用Evans-Krylov估计，将极限势函数的正则性从$C^{2,\alpha,\beta}$提升。
• 通过在包含$\partial\bar{\partial}\eta$与测试函数$\eta$的积分恒等式中取极限，导出标量曲率的极限方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在锥情形下，cscK锥度量的存在性是否等价于对数K-能量泛函的正则性？
• RQ2 测地线稳定性是否刻画了具有锥奇点的cscK锥度量的存在性？
• RQ3 是否可在大上同调类中构造奇异cscK度量，即使存在退化？
• RQ4 cscK锥度量的路径是否表现出类似于唐纳森连续性方法的开性与逼近性质？
• RQ5 对数K-能量在锥角变化下如何表现？其在该参数下是否连续？

主要发现

• cscK锥度量的存在性等价于对数$K$-能量泛函的正则性，将陈-程的结果推广至锥情形。
• 测地线稳定性等价于cscK锥度量的存在性，证实了唐纳森猜想的锥版本。
• 对数$K$-能量在锥角$\beta$下连续，从而可对近似解的$d_1$-距离施加一致有界。
• 近似解序列$\varphi_i$在$d_1$-距离下收敛至极限$\varphi_\infty$，其为$C^{2,\alpha,\beta}$的cscK锥度量。
• 极限势函数$\varphi_\infty$满足具有锥角$\beta_0$的cscK方程，且通过积分恒等式与逼近论证，证明$F_\infty$为$C^{2,\alpha,\beta}$。
• 本文在大上同调类中构造了奇异cscK度量（定理4.40），推广了奇异凯勒-爱因斯坦度量，并将丘的卡拉比猜想解推广至奇异与退化情形。