[论文解读] Explicit partial and functional differential equations for beables or observables

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|May 13, 2015

Quantum Mechanics and Applications参考文献 17被引用 21

一句话总结

本文推导出有限系统和场论的显式偏微分方程（PDE）与泛函微分方程（FDE），用于表征狄拉克与库查尔可观察量——约束哈密顿系统中的物理可观测量。该研究提供了一个系统框架，用于识别包含广义相对论、杨-米尔斯理论和电磁学在内的理论中，具有纯配置依赖、纯动量依赖或混合依赖的可观测量。关键结果表明，纯配置可观察量满足由约束生成元导出的PDE，而纯动量与混合情况则仍是尚未解决的数学难题。

ABSTRACT

We provide explicit partial differential equations - in finite cases - and functional differential equations - in field-theoretic cases - which determine observables or beables in the senses of Kuchař and of Dirac. These cover a wide range of relational mechanics models as well as Electromagnetism, Yang--Mills Theory and General Relativity. We give an underlying reason why pure-configuration Kuchař observables are already well-known: various types of shape, E-fields, B-fields, loops and 3-geometries. The partial differential equations or functional differential equations for pure-momentum observables are also posed, as are those for observables which have a mixture of configuration and momentum functional dependence.

研究动机与目标

• 推导出表征约束哈密顿理论中物理可观测量（可观察量）的显式偏微分方程与泛函微分方程。
• 阐明狄拉克可观察量与库查尔可观察量之间的区别与关系，特别是在具有二次约束的系统（如广义相对论）中。
• 提供一种系统化方法，用于识别具有纯配置依赖、纯动量依赖或混合配置-动量依赖的可观测量。
• 将已知的仅依赖配置的可观察量结果（例如形状、3-几何、E/B-场）扩展至动量与混合情况，这些情况在数学上仍基本未被探索。
• 通过提供物理可观测量的古典方程，为解决量子引力中的时间问题与可观察量问题奠定基础。

提出的方法

• 利用泊松括号条件推导有限维Kuchař可观察量的PDE：∑_A { (∂C_C/∂Q^A)(∂B_B/∂P_A) − (∂C_C/∂P_A)(∂B_B/∂Q^A) } ≈ 0。
• 通过使用 smeared constraints（ smeared 约束）与泛函导数，将形式化推广至场论，采用泛函微分方程（FDE）。
• 应用德威特二指标到一指标映射，将三维度规与动量变量转化为向量形式，使FDE中自然出现张量结构。
• 使用狄拉克括号与约化几何泊松括号，确保在约束系统中与一阶约束的一致性。
• 应用复合原理处理多重约束条件，确保解满足所有约束对易关系。
• 证明纯配置可观察量被约束生成元通过约束代数所湮灭，而纯动量情况则需要新的数学处理方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限系统与场论系统中，Kuchař可观察量的空间由哪些显式PDE或FDE控制？
• RQ2 纯动量与混合配置-动量可观察量的方程与纯配置可观察量的方程有何不同？
• RQ3 为何纯配置可观察量（如形状、3-几何、环）已广为人知，而基于动量的可观察量在数学上仍发展不足？
• RQ4 在具有二次约束的系统（如广义相对论）中，狄拉克与库查尔对可观测量的定义在何处产生分歧？
• RQ5 德威特映射与 smeared 泛函导数在几何动力学中构建可观测量FDE时起何作用？

主要发现

• 纯配置Kuchař可观察量满足由约束代数导出的PDE，该条件等价于可观测量被约束生成元所湮灭。
• 场论可观察量的泛函微分方程通过 smeared 约束与泛函导数构建，形式为 ∫dⁿz ∑_A { δ(C_C|∂ξ^C)/δQ^A(z) · δ(B_B|χ^B)/δP_A(z) − δ(C_C|δξ^C)/δP_A(z) · δ(B_B|χ^B)/δQ^A(z) } ≈ 0。
• 在广义相对论中，狄拉克可观测量条件导出特定FDE：{G − M D²} δD_D/δp − 2p N δD_D/δh ≈ 0，其中G为哈密顿密度，D²为拉普拉斯算子。
• 德威特映射将三维度规h_ab与动量p^ab转化为向量场h^A与p_A，使度规M_AB与N^AB在FDE中自然出现。
• 纯动量Kuchař可观察量不具有像配置可观察量那样的简单生成元湮灭等价性，原因在于其对动量的非线性依赖。
• 本文确立了基可观察量——相互独立且完备的可观测量集合——需要2(q − g)个量，其中q为配置变量数，g为一阶约束数。