[论文解读] Extended Functorial Field Theories and Anomalies in Quantum Field Theories

Lukas Müller|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2020

Topological Materials and Phenomena参考文献 128被引用 7

一句话总结

本文利用对称张量双范畴的扩展范畴场论框架，将量子场论中的异常现象描述为高一维的可逆场论，其中异常场论实现于其边界上。通过利用具有角的流形上的阿蒂亚-帕多尔-辛格指标定理，明确构造了角动量异常的理论，并利用非交换群上同调与莱昂德-霍奇希尔德-塞尔尔谱序列，推导出狄克拉夫-惠滕理论中't Hooft异常的条件。

ABSTRACT

We develop a general framework for the description of anomalies using extended functorial field theories extending previous work by Freed and Monnier. In this framework, anomalies are described by invertible field theories in one dimension higher and anomalous field theories live on their boundaries. We provide precise mathematical definitions for all concepts involved using the language of symmetric monoidal bicategories. In particular, field theories with anomalies will be described by symmetric monoidal transformations. The use of higher categorical concepts is necessary to capture the Hamiltonian picture of anomalies. The relation to the path integral and the Hamiltonian description of anomalies will be explained in detail. Furthermore, we discuss anomaly inflow in detail. We apply the general framework to the parity anomaly in fermionic systems coupled to background gauge and gravitational fields on odd-dimensional spacetimes. We use the extension of the Atiyah-Patodi-Singer index theorem to manifolds with corners due to Loya and Melrose to explicitly construct an extended invertible field theory encoding the anomaly. This allows us to compute explicitly the 2-cocycle of the projective representation of the gauge symmetry on the quantum state space. As a second application, we study discrete symmetries of Dijkgraaf-Witten theories and their gauging. Non-abelian group cohomology is used to describe discrete symmetries and we derive concrete conditions for such a symmetry to admit 't Hooft anomalies in terms of the Lyndon-Hochschild-Serre spectral sequence. We give an explicit realization of a discrete gauge theory with 't Hooft anomaly as a state on the boundary of a higher-dimensional Dijkgraaf-Witten theory.

研究动机与目标

• 通过高阶范畴结构，为量子场论中的异常现象提供数学上严格的描述。
• 在基于扩展范畴场论的统一框架下，将路径积分描述与哈密顿描述统一起来。
• 明确构造编码奇数维费米子系统中背景规范场与引力场下异常的可逆场论。
• 通过非交换群上同调与谱序列，推导出狄克拉夫-惠滕理论中't Hooft异常的条件。
• 将具有异常的离散规范理论实现为高维狄克拉夫-惠滕理论的边界态。

提出的方法

• 利用对称张量双范畴，将带有异常的场论形式化为对称张量变换。
• 利用洛亚与墨尔罗思对具有角流形的阿蒂亚-帕多尔-辛格指标定理的推广，构造费米子系统的异常场论。
• 应用非交换群上同调对狄克拉夫-惠滕理论的离散对称性进行分类。
• 利用莱昂德-霍奇希尔德-塞尔尔谱序列，推导离散规范理论中't Hooft异常存在的条件。
• 构造一个高维狄克拉夫-惠滕理论，其边界态实现了一个具有't Hooft异常的离散规范理论。
• 通过高一维的扩展场论与可逆场论的形式化，将哈密顿图像中的异常与路径积分联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用高阶范畴语言中的扩展范畴场论，系统地描述量子场论中的异常？
• RQ2 在具有背景规范场与引力场的奇数维时空上，费米子系统中角动量异常的精确数学结构是什么？
• RQ3 狄克拉夫-惠滕理论中't Hooft异常如何从离散对称性的上同调数据中产生？
• RQ4 莱昂德-霍奇希尔德-塞尔尔谱序列在确定't Hooft异常存在性方面起什么作用？
• RQ5 如何将一个具有't Hooft异常的离散规范理论实现为高维拓扑场论的边界态？

主要发现

• 奇数维费米子系统中的角动量异常被编码于通过具有角流形上的阿蒂亚-帕多尔-辛格指标定理构造的扩展可逆场论中。
• 利用异常场论构造方法，显式计算了量子态空间上规范对称性项目表示的2-上链。
• 利用非交换群上同调与莱昂德-霍奇希尔德-塞尔尔谱序列，推导出狄克拉夫-惠滕理论中't Hooft异常的条件。
• 具有't Hooft异常的离散规范理论被实现为高维狄克拉夫-惠滕理论的边界态，验证了异常流入机制。
• 该框架通过对称张量双范畴的语言，成功调和了路径积分与哈密顿描述中的异常。
• 对称张量双范畴的使用对于捕捉哈密顿图像中异常的完整结构至关重要，尤其是在存在边界与角的情况下。