[论文解读] F-index of graphs based on new operations related to the join of graphs

Prosanta Sarkar, Nilanjan De+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Graph theory and applications参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文推导了新图运算——顶点和边 $Φ$-连接图（其中 $Φ \in \{S, R, Q, T\}$）的 F-指数（顶点度数立方和）的闭式公式，基于两图的连接。该研究基于经典拓扑指数 $F(G)$、$M_1(G)$、$HM(G)$ 和 $ReZM(G)$，建立了精确表达式，使 $P_n \underline{\vee}_T P_m$ 和 $C_n \underline{\vee}_T C_m$ 等复杂图族的 F-指数得以精确计算。主要贡献在于为细分连接图的 F-指数计算提供了统一的分析框架。

ABSTRACT

The forgotten topological index or F-index of a graph is defined as the sum of degree cube of all the vertices of the graph. This index was introduced by Gutman and Trinajestić more than 40 years ago. In this paper, we derive F-index of new operations of subdivision graphs related to the graphs join.

研究动机与目标

• 将遗忘拓扑指数（F-指数）的应用扩展到基于图连接的新图运算。
• 定义并形式化新的图运算：顶点 $Φ$-连接与边 $Φ$-连接，其中 $Φ$ 表示基于细分的变换（S、R、Q、T）。
• 推导这些新图运算的 F-指数的闭式解析表达式，以原始图的基本拓扑指数表示。
• 为路径（$P_n$）和环（$C_n$）等标准图族提供显式 F-指数公式，支持实际的 QSAR/QSPR 应用。

提出的方法

• 通过将细分图（$\Phi(G)$）与第二张图 $H$ 通过完全顶点连接，引入顶点 $Φ$-连接和边 $Φ$-连接运算。
• 定义四种细分操作：$S(G)$（插入路径）、$R(G)$（顶点连接）、$Q(G)$（相邻新顶点连接）和 $T(G)$（包含所有连接的全图）。
• 通过分析结果图中每个顶点的度数来计算 F-指数，区分原始顶点、插入顶点 ($I(G)$) 及其与第二张图连接的贡献。
• 使用度数公式：对于 $v \in V(G_1)$，有 $d_{G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2}(v) = d_{G_1}(v) + n_2$；对于 $v \in I(G_1)$，有 $d_{G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2}(v) = d_{G_1}(u) + d_{G_1}(v) + n_2$（边 $Φ$-连接）。
• 应用已知的拓扑指数：$F(G)$、$M_1(G)$（第一扎格雷布指数）、$HM(G)$（超扎格雷布指数）、$ReZM(G)$（重定义扎格雷布指数），以及本文新定义的 $M_4(G)$。
• 通过二项式展开 F-指数求和，并将各项重新组织为标准指数形式，推导出紧凑的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\Phi \in \{S, R, Q, T\}$，顶点 $Φ$-连接图 $G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2$ 的 F-指数是多少？
• RQ2 边 $Φ$-连接图 $G_1 \underline{\vee}_\Phi G_2$ 的 F-指数如何依赖于 $G_1$ 和 $G_2$ 的拓扑指数？
• RQ3 能否为路径 $P_n$ 和环 $C_n$ 等标准图族在这些新运算下推导出显式 F-指数公式？
• RQ4 在这些图运算的背景下，F-指数与其他拓扑指数（$M_1$、$HM$、$ReZM$）之间存在何种关系？

主要发现

• 顶点 $\Phi$-连接 $G_1 \dot{\vee}_\Phi G_2$ 的 F-指数被表示为 $F(G_1)$、$F(G_2)$、$M_1(G_1)$、$M_1(G_2)$、$HM(G_1)$、$ReZM(G_1)$ 和 $m_1 n_2^3$ 的函数，系数取决于 $\Phi$。
• 对于边 $T$-连接，F-指数为 $F(G_1 \underline{\vee}_T G_2) = 8F(G_1) + F(G_2) + 3n_2^2 M_1(G_1) + 3m_1 M_1(G_2) + M_4(G_1) + 3n_2 HM(G_1) + 3ReZM(G_1) + m_1^2(6m_2 + m_1 n_2) + m_1 n_2^3$，其中 $M_4(G_1)$ 为新定义的指数。
• 为 $P_n \underline{\vee}_T P_m$ 计算了显式公式，得到 $F(P_n \underline{\vee}_T P_m) = m^3(n-1) + 3m^2(4n-6) + m(n-1)^3 + 6(m-1)(n-1)^2 + 60mn - 94m + 110n - 246$，适用于 $m \geq 2, n \geq 3$。
• 对于 $P_n \underline{\vee}_T C_m$，F-指数为 $F(P_n \underline{\vee}_T C_m) = m^3(n-1) + 3m^2(4n-6) + m(n-1)^3 + 6m(n-1)^2 + 60mn - 94m + 128n - 250$，适用于 $m,n \geq 3$。
• 对于 $C_n \underline{\vee}_T C_m$，F-指数为 $F(C_n \underline{\vee}_T C_m) = m^3 n + 12m^2 n + m n^2 (n+6) + 60mn + 8m + 128n$，适用于 $m,n \geq 3$。
• 对于 $C_n \underline{\vee}_T P_m$，F-指数为 $F(C_n \underline{\vee}_T P_m) = m^3 n + 12m^2 n + m n^3 + 6n^2(m-1) + 60mn + 8m + 110n - 14$，适用于 $m,n \geq 3$。