[论文解读] Frame ambiguity in Open Gromov-Witten invariants

Vito Iacovino|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文为非紧致卡拉比-丘三fold 上具有微分同胚于 $\mathbb{R}^2 \times S^1$ 的拉格朗日子流形的开 Gromov-Witten 不变量提供了严格的数学定义，通过引入一种拓扑意义上的框架概念，解决了此类不变量固有的框架歧义。该构造通过引入依赖于框架的 linking 数与 Chern-Simons 理论，扩展了先前的工作，所得的纽结与链结不变量与大 $N$ 对偶性及弦理论的预测完全一致。

ABSTRACT

We consider Open Gromov-Witten invariants for noncompact Calabi-Yau in the case the Lagrangian has the topology of $\R^2 imes S^1$. The definition of the invariant involves the choice of a frame for the Lagrangian, in accord with string theory. Our result applies to the examples arising from Large $N$-duality. In particular it leads to knot and link invariants counting holomorphic curves.

研究动机与目标

• 为非紧致卡拉比-丘三fold 上满足 $L \cong \mathbb{R}^2 \times S^1$ 的开 Gromov-Witten 不变量解决框架歧义问题。
• 在不依赖未被证明的对偶性（如大 $N$ 对偶性）的前提下，提供这些不变量的辛几何-拓扑定义。
• 在纽结的框架与关联拉格朗日子流形的框架之间建立一一对应关系，以实现一致的曲线计数。
• 利用框架中编码的紧化数据，在非紧致拉格朗日子流形上定义广义 linking 数。
• 证明当框架对应于作用轨道时，该不变量与通过 $S^1$-等变局部化计算出的结果一致。

提出的方法

• 引入‘框架’的概念，即满足 $f_1v_2 - f_2v_1 = \pm 1$ 的元素 $f \in H_1(L')$，其中 $v$ 生成 $H_1(L') \to H_1(L)$ 的核，从而确保同调群的一组基。
• 通过在无穷远处使用同调于 $f$ 的曲线，将 $S^3$ 风格的 linking 数定义推广至 $L$ 上，通过避免紧致集的同伦关系定义无链接性。
• 将开 Gromov-Witten 不变量构造为链的广义 linking 数，遵循 [7] 的框架，并将其适配于非紧致 $L$。
• 通过从紧化空间限制定义 $L$ 上的 Chern-Simons 传播子，其边界条件由框架决定。
• 在纽结 $\mathcal{K}$ 的框架与其中心余切丛 $L_{\mathcal{K}} \subset T^*S^3$ 的拉格朗日子流形的框架之间建立一一对应关系。
• 利用 Gromov 紧性与 $L_{\mathcal{K}}$ 的同调平凡性，确保所有纽结与链结的不变量均有良好定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为微分同胚于 $\mathbb{R}^2 \times S^1$ 的非紧致拉格朗日子流形一致地定义开 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 在大 $N$ 对偶性与镜像对称中观察到的框架歧义的数学根源是什么？
• RQ3 框架的选择如何影响非紧致拉格朗日子流形上曲线的 linking 数？
• RQ4 能否将通过 $S^1$-等变局部化计算出的不变量与辛几何-拓扑定义相协调？
• RQ5 在中心余切拉格朗日子流形的背景下，纽结框架与拉格朗日子流形框架之间的确切对应关系是什么？

主要发现

• 开 Gromov-Witten 不变量中的框架歧义源于 $L \cong \mathbb{R}^2 \times S^1$ 的紧化方式不唯一，每个框架对应一种不同的紧化方式。
• 每个框架为 $L$ 上的曲线诱导出一个良定义的 linking 数，通过无穷远处的渐近行为推广了 $S^3$ 上的定义。
• 对于带框架的纽结 $\mathcal{K}^f$，开 Gromov-Witten 不变量是良定义的，且不依赖于辅助选择（如 2-链 $B$），这是由于 $H_4(X) = 0$。
• 对于带框架的链结 $\mathcal{K}_1^{f_1}, \dots, \mathcal{K}_k^{f_k}$，在 Gromov 紧性条件下，不变量 $F_{g,\vec{n}}^{f_1,\dots,f_k}$ 有定义且有限。
• 当框架对应于 $S^1$-轨道时，Liu 通过 $S^1$-等变局部化计算出的不变量与辛几何-拓扑定义的开 Gromov-Witten 不变量一致。
• 在轨道 linking 数为零的框架下，局部化计算中非平凡图的贡献消失，证实了与所提定义的一致性。