[论文解读] Free and cofree Hopf algebras

Loïc Foissy|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文证明了在特征零的域上，分级、连通、自由且余自由的霍普夫代数是自对偶的，并且其同构类由庞加莱-希尔伯特级数唯一确定。它证明了原始元素的李代数是自由的，且当且仅当其原始元素的交换化具有相同的维数时，两个此类霍普夫代数作为非分级霍普夫代数是同构的。

ABSTRACT

We first prove that a graded, connected, free and cofree Hopf algebra is always self-dual; then that two graded, connected, free and cofree Hopf algebras are isomorphic if, and only if, they have the same Poincaré-Hilbert formal series. If the characteristic of the base field is zero, we prove that the Lie algebra of the primitive elements of such an object is free, and we deduce a characterization of the formal series of free and cofree Hopf algebras by a condition of growth of the coefficients. We finally show that two graded, connected, free and cofree Hopf algebras are isomorphic as (non graded) Hopf algebras if, and only if, the Lie algebra of their primitive elements have the same number of generators.

研究动机与目标

• 确定自由与余自由霍普夫代数是否总是自对偶的。
• 研究具有相同庞加莱-希尔伯特级数的两个此类霍普夫代数是否同构。
• 刻画在特征零基域上，自由与余自由霍普夫代数中原始元素李代数的结构。
• 建立作为非分级霍普夫代数的自由与余自由霍普夫代数的同构判据。

提出的方法

• 通过在不可约原始元素空间上的配对，构造自由且余自由霍普夫代数上的非退化对称霍普夫配对。
• 通过将对称配对从 $\frac{\mathfrak{g}}{\mathfrak{g} \cap H^{+2}}$ 延拓至整个代数 $H$，证明自对偶性。
• 利用非退化对称霍普夫配对的存在性，证明两个此类霍普夫代数同构当且仅当它们具有相同的庞加莱-希尔伯特级数。
• 在霍普夫代数上引入双分次以细化分次，并分析原始元素李代数的结构。
• 利用非交换康奈斯-克雷默霍普夫代数的刚性，证明不可约原始元素的形式级数 $S(h)$ 可以任意选取。
• 应用特征零下原始元素李代数为自由代数的事实，推导出庞加莱-希尔伯特级数系数的生长条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个分级、连通、自由且余自由的霍普夫代数是否都是自对偶的？
• RQ2 若两个分级、连通、自由且余自由的霍普夫代数具有相同的庞加莱-希尔伯特级数，它们是否同构？
• RQ3 在特征零的域上，自由与余自由霍普夫代数中原始元素李代数的结构是什么？
• RQ4 在什么条件下两个自由与余自由霍普夫代数作为非分级霍普夫代数同构？
• RQ5 自由与余自由霍普夫代数的形式级数能否通过其系数的生长条件来刻画？

主要发现

• 通过在 $\frac{\mathfrak{g}}{\mathfrak{g} \cap H^{+2}}$ 上的配对构造的非退化对称霍普夫配对，分级、连通、自由且余自由的霍普夫代数是自对偶的。
• 两个此类霍普夫代数作为分次霍普夫代数同构当且仅当它们具有相同的庞加莱-希尔伯特级数。
• 在特征零下，自由与余自由霍普夫代数的原始元素李代数是自由的。
• 自由与余自由霍普夫代数的形式级数由系数的生长条件刻画，如推论19所示。
• 两个自由与余自由霍普夫代数作为非分级霍普夫代数同构当且仅当它们的交换化 $\frac{\mathfrak{g}}{[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]}$ 与 $\frac{\mathfrak{g}'}{[\mathfrak{g}', \mathfrak{g}']}$ 的维数相等。
• 霍普夫代数 $\mathbf{FQSym}$、$\mathbf{PQSym}$、$\mathcal{H}_{LR}$、$\mathbf{YSym}$、$\mathcal{H}_{NCK}$ 及其带装饰版本在非分级意义下彼此同构，因为它们的原始元素交换化均为无穷维。