[论文解读] Further Results on Cauchy Tensors and Hankel Tensors

Haibin Chen, Guoyin Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文引入广义柯西张量，并证明半正定柯西张量等价于SOS（平方和）张量与完全正定张量，意味着其可分解为非负秩-1张量之和。进一步证明，偶数阶柯西-汉克尔张量半正定当且仅当其生成参数满足特定正性条件，并将汉克尔张量的半正定性与关联平面张量及SOS性质在秩约束下建立联系。

ABSTRACT

In this article, we present various new results on Cauchy tensors and Hankel tensors. { We first introduce the concept of generalized Cauchy tensors which extends Cauchy tensors in the current literature, and provide several conditions characterizing positive semi-definiteness of generalized Cauchy tensors with nonzero entries.} As a consequence, we show that Cauchy tensors are positive semi-definite if and only if they are SOS (Sum-of-squares) tensors.} Furthermore, we prove that all positive semi-definite Cauchy tensors are completely positive tensors, which means every positive semi-definite Cauchy tensor can be decomposed { as} the sum of nonnegative rank-1 tensors. We also establish that all the H-eigenvalues of nonnegative Cauchy tensors are nonnegative. Secondly, we present new mathematical properties of Hankel tensors. { We prove that an even order Hankel tensor is Vandermonde positive semi-definite if and only if its associated plane tensor is positive semi-definite. We also show that, if the Vandermonde rank of a Hankel tensor $\mathcal{A}$ is less than the dimension of the underlying space, then positive semi-definiteness of $\mathcal{A}$ is equivalent to the fact that $\mathcal{A}$ is a complete Hankel tensor, and so, is further equivalent to the SOS property of $\mathcal{A}$. Lastly, we introduce a new structured tensor called Cauchy-Hankel tensors, which is a special case of Cauchy tensors and Hankel tensors simultaneously.} Sufficient and necessary conditions are established for an even order Cauchy-Hankel tensor to be positive definite. Final remarks are listed at the end of the paper.

研究动机与目标

• 通过引入具有非零元素的广义柯西张量，扩展柯西张量理论。
• 刻画广义柯西张量的半正定性与完全正定性。
• 建立偶数阶柯西张量的半正定性、SOS性质与完全正定性之间的等价关系。
• 研究汉克尔张量半正定性与其关联平面张量之间的关系，尤其在范德蒙德秩约束下。
• 定义并分析柯西-汉克尔张量，建立其正定性的必要与充分条件。

提出的方法

• 通过具有特定函数形式的生成向量，将广义柯西张量作为标准柯西张量的推广引入。
• 利用代数张量分解与正定性分析，证明半正定柯西张量为SOS张量。
• 通过展示其可接受非负秩-1分解，证明偶数阶柯西张量为完全正定张量。
• 通过其关联平面张量与范德蒙德结构定义并分析汉克尔张量，将半正定性与平面张量性质相联系。
• 将柯西-汉克尔张量定义为柯西与汉克尔结构的混合类，并推导基于参数的正定性条件。
• 应用齐次多项式单调性分析，通过正卦形中的严格单调性刻画正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非零元素的广义柯西张量是半正定的？
• RQ2 每个半正定柯西张量是否都等价于SOS张量或完全正定张量？
• RQ3 偶数阶汉克尔张量的半正定性与其中关联平面张量的半正定性之间有何关系？
• RQ4 在何种情况下，汉克尔张量的半正定性等价于其为完全汉克尔张量或SOS张量？
• RQ5 偶数阶柯西-汉克尔张量正定的必要与充分条件是什么？

主要发现

• 所有半正定柯西张量均为SOS张量，即其可表示为齐次多项式平方和的形式。
• 偶数阶柯西张量半正定当且仅当其为完全正定张量，即其可分解为非负秩-1张量之和。
• 所有非负柯西张量的H-特征值均为非负，证实其谱非负性。
• 偶数阶汉克尔张量为范德蒙德半正定时，当且仅当其关联平面张量为半正定。
• 若汉克尔张量的范德蒙德秩小于其基空间的维数，则其半正定性等价于其为完全汉克尔张量与SOS张量。
• 偶数阶柯西-汉克尔张量正定当且仅当参数满足 $ g + mh > 0 $ 且 $ g + nmh > 0 $。