[论文解读] Koszul duality between Higgs and Coulomb categories $\mathcal{O}$

Ben Webster|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 24

一句话总结

本文通过一个共同的组合范畴作为桥梁，建立了在任意半单群 G 和表示 V 下，量化 Coulomb 丛上的权模范畴与 Higgs 丛上的 G-等变 D-模范畴之间的 Koszul 对偶等价。该对偶关系对所有半单群 G 和表示 V 均普遍成立，并在特定情形下退化为已知对偶性，例如 A 型中的抛物-奇异范畴 O 对偶性以及超环面 Koszul 对偶性。

ABSTRACT

We prove a Koszul duality theorem between the category of weight modules over the quantized Coulomb branch (as defined by Braverman, Finkelberg and Nakajima) attached to a group $G$ and representation $V$ and a category of $G$-equivariant D-modules on the vector space $V$. This is proven by relating both categories to an explicit, combinatorially presented category. These categories are related to generalized categories $\mathcal{O}$ for symplectic singularities. Letting $\mathcal{O}_{\operatorname{Coulomb}}$ and $\mathcal{O}_{\operatorname{Higgs}}$ be these categories for the Coulomb and Higgs branches associated to $V$ and $G$, we obtain a functor $\mathcal{O}_{\operatorname{Coulomb}}^! o \mathcal{O}_{\operatorname{Higgs}}$ from the Koszul dual of one to the other. This functor is an equivalence in the special cases where the hyperkähler quotient of $T^*V$ by $G$ is a Nakajima quiver variety or smooth hypertoric variety. This includes as special cases the parabolic-singular Koszul duality of category $\mathcal{O}$ in type A, the categorified rank-level duality proposed by Chuang and Miyachi and proven by Shan, Vasserot and Varagnolo, and the hypertoric Koszul duality proven by Braden, Licata, Proudfoot and the author. We also show that this equivalence intertwines so-called twisting and shuffling functors. This together with the duality discussed confirms the most important components of the symplectic duality conjecture of Braden, Licata, Proudfoot and the author in this case.

研究动机与目标

• 建立量化 Coulomb 丛上权模范畴与 Higgs 丛上 G-等变 D-模范畴之间的统一 Koszul 对偶。
• 提供一个统一框架，涵盖已知的 Koszul 对偶特例，包括 A 型中的抛物-奇异范畴 O 对偶性与超环面对偶性。
• 确认由 T∗V 关于 G 的超凯勒商空间所生成的辛奇点的辛对偶猜想的关键组成部分。
• 证明对偶函子与扭曲函子和混洗函子相容，与辛对偶猜想所预测的结构一致。
• 构建一个避免依赖仿射格拉斯曼ian的 Coulomb 丛的代数化、组合化呈现模型，以实现推广与证明。

提出的方法

• 定义一个共同的组合范畴（即 Steinberg 范畴）作为 Higgs 与 Coulomb 类别 O 之间的桥梁。
• 通过 T∗V 上微局部 D-模的哈密顿约化来定义 Higgs 侧范畴，遵循 McGerty 与 Nevins 的方法。
• 通过量化 Coulomb 丛的纯代数呈现来构造 Coulomb 侧范畴，避免借助仿射格拉斯曼ian的几何实现。
• 对权模所关联的分次代数应用 Koszul 对偶理论，利用二次对偶构造将两范畴关联。
• 在超凯勒商空间为 Nakajima 引理图或光滑超环面簇的情形下，证明所得对偶函子为等价。
• 通过分析其在组合模型上的作用，验证对偶函子与扭曲函子和混洗函子的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意半单群 G 和表示 V，是否存在 Higgs 与 Coulomb 类别 O 之间的统一 Koszul 对偶？
• RQ2 该对偶是否退化为已知情形，例如 A 型中的抛物-奇异范畴 O 对偶性与超环面 Koszul 对偶性？
• RQ3 能否在不依赖仿射格拉斯曼ian的前提下，以代数方式描述量化 Coulomb 丛？
• RQ4 对偶函子是否保持扭曲函子与混洗函子的结构，如辛对偶猜想所预测？
• RQ5 在何种条件下该对偶为等价？其与超凯勒商空间几何的关系如何？

主要发现

• 本文构造了量化 Coulomb 丛上权模范畴与 Higgs 丛上 G-等变 D-模范畴之间的 Koszul 对偶等价。
• 该对偶通过一个共同的组合范畴实现，为双方提供了统一的组合模型。
• 当超凯勒商空间为 Nakajima 引理图或光滑超环面簇时，该等价关系成立。
• 对偶函子与扭曲函子和混洗函子相容，证实了辛对偶猜想的关键预测。
• 本文首次提供了对一般 G 和 V 的量化 Coulomb 丛的纯代数描述，完全独立于仿射格拉斯曼ian。
• 结果统一并推广了已知的 Koszul 对偶实例，包括 A 型中的抛物-奇异对偶性，以及 Chuang–Miyachi 的范畴化秩-等级对偶性（由 Shan、Vasserot 与 Varagnolo 证明）。