[论文解读] Geometric Bernstein Asymptotics and the Drinfeld-Lafforgue-Vinberg degeneration for arbitrary reductive groups

Simon Schieder|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文通过李群 $G$ 的 Vinberg 代数群，将曲线上的 $G$-丛模堆栈 $Δ\text{Bun}_G$ 的一个典范多参数退化 $Δ\text{VinBun}_G$ 定义并研究。该退化构造了可因式分解的局部模型，证明了其邻近循环在层-函数对应下对应于 Bernstein 的渐近映射，从而证实了 Sakellaridis 的一个猜想，并将此前针对 $\mathrm{SL}_2$ 的结果推广至任意半单群。

ABSTRACT

We define and study the Drinfeld-Lafforgue-Vinberg compactification of the moduli stack of G-bundles Bun_G for an arbitrary reductive group G; its definition is given in terms of the Vinberg semigroup of G, and is due to Drinfeld (unpublished). Throughout the article we prefer to view the compactification as a canonical multi-parameter degeneration of Bun_G which we call the Drinfeld-Lafforgue-Vinberg degeneration VinBun_G. We construct local models for the degeneration VinBun_G which "factorize in families" and use them to study its singularities, generalizing results of the article [Sch1] which was confined with the case G = SL_2. The multi-parameter degeneration VinBun_G gives rise to, for each parabolic of G, a corresponding nearby cycles functor. Our main theorem expresses the stalks of these nearby cycles in terms of the cohomology of the parabolic Zastava spaces. From this description we deduce that the nearby cycles of VinBun_G correspond, under the sheaf-function correspondence, to Bernstein's asymptotics map on the level of functions. This had been speculated by Bezrukavnikov-Kazhdan [BK] and Chen-Yom Din [CY] and conjectured in a precise form by Sakellaridis [Sak2].

研究动机与目标

• 通过 $G$ 的 Vinberg 代数群，为任意半单群 $G$ 定义并研究 $\mathrm{VinBun}_G$ 作为 $\mathrm{Bun}_G$ 的典范多参数退化。
• 构造 $\mathrm{VinBun}_G$ 的局部模型，使其在族中可因式分解，并利用它们分析退化的奇点。
• 证明每个 $G$ 的抛物子群 $P$ 对应的邻近循环函子 $\Psi_P$ 在层-函数对应下对应于函数上的 Bernstein 渐近映射。
• 将此前针对 $\mathrm{SL}_2$ 的结果推广至任意半单群，从而在几何 Langlands 程序的背景下实现 Bernstein 渐近映射的几何化。

提出的方法

• 通过 $G$ 的 Vinberg 代数群定义退化 $\mathrm{VinBun}_G$，该代数群提供了 $\mathrm{Bun}_G$ 的典范紧化 ${\overline{\mathrm{Bun}}}_G$。
• 局部模型构造为 Vinberg 代数群中开子集的 GIT 商，按抛物子群分层，并配备因式分解性质。
• 利用这些局部模型分析邻近循环 $\Psi_P$，并证明其纤维化于抛物子群的 Zastava 空间。
• 应用层-函数对应，证明与 $\Psi_P$ 关联的函数与 Bernstein 的渐近映射一致。
• 使用正的余权的 Kostant 分拆来计算 $\Psi_P$ 在 Grothendieck 群中的茎，导出包含 $q$-变形与欧拉示性数的显式公式。
• 证明依赖于邻近循环的因式分解性质以及在 $\overline{\mathbb{Q}}_\ell$-层的导出范畴中的幂零等变技术。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地为任意半单群 $G$ 定义并研究 Drinfeld-Lafforgue-Vinberg 退化 $\mathrm{VinBun}_G$？
• RQ2 每个 $G$ 的抛物子群 $P$ 对应的邻近循环 $\Psi_P$ 的几何结构是什么？
• RQ3 $\Psi_P$ 的茎如何与抛物子群 Zastava 空间的上同调相关联？
• RQ4 在层-函数对应下，邻近循环 $\Psi_P$ 是否确实映射到函数上的 Bernstein 渐近映射，如 Sakellaridis 所猜想？
• RQ5 Bernstein 的渐近公式是否能在几何 Langlands 程序的背景下，通过 Zastava 空间的上同调实现几何化？

主要发现

• 每个抛物子群 $P$ 对应的邻近循环 $\Psi_P$ 被证明同构于相应抛物子群 Zastava 空间的上同调，并在 Grothendieck 群中给出显式公式。
• 主邻近循环 $\Psi^{\mathrm{princ}}$ 关联的函数被计算为 $\sum_{{\mathcal{K}} \in \mathrm{Kostant}(\check{\theta})} (1-q)^{|R_{{\mathcal{K}}}|} q^{-|{\mathcal{K}}|} q^{\langle \rho, \check{\theta} \rangle} \mathbbold{1}_{\check{\theta}}$，与 Bernstein 的渐近映射完全一致。
• 通过因式分解与幂零等变性推导出渐近映射的公式，精确证实了 Sakellaridis 的猜想。
• $\mathrm{VinBun}_G$ 的局部模型被构造为严格 $P$-子集与 Bruhat 子集的 GIT 商，且在族中可因式分解。
• $\mathrm{VinBun}_G$ 上常值层的 $*$-扩张的茎通过相同的 Zastava 空间上同调计算，其结果在几何 Langlands 程序中有应用。
• 该构造将此前针对 $G = \mathrm{SL}_2$ 的结果推广至任意半单群，为几何渐近提供了统一的框架。