[论文解读] Geometry of canonical bases and mirror symmetry

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 62被引用 4

一句话总结

本文建立了一个几何框架，通过带标记的曲面和 G-局部系统模空间上的正结构，将表示论中的典范基与镜像对称联系起来。它在模空间 A_{G,S} 上引入了一个势函数 W，其热带化参数化卷积态射纤维的顶维分量，并为 Langlands 对偶群 G^L 的张量积不变量提供了一个典范基，推广了 Kamnitzer 的蜂窝模型，并将 Mirković-Vilonen 圈扩展到混合旗配置。

ABSTRACT

A decorated surface S is a surface with a finite set of special points on the boundary, considered modulo isotopy. Let G be a split reductive group. A pair (G, S) gives rise to a moduli space A(G, S), closely related to the space of G-local systems on S. It has a positive structure. So the set of its integral tropical points is defined. We introduce a rational positive function W on A(G, S), the potential. The condition that its tropicalisation is non-negative determines its subset. For SL(2), we recover the set of integral laminations on S. We prove that when S is a disc with n special points on the boundary, this set parametrises top dimensional components of the convolution varieties. Thus, via geometric Satake correspondence, they provide a canonical basis in tensor product invariants of irreducible modules for the Langlands dual group. When G=GL(m), n=3, there is a special coordinate system on A(G,S). We show that it identifies our set with the set of with Knutson-Tao's hives. Our result generalises a theorem of Kamnitzer, who used hives to parametrise top components of convolution varieties for GL(m), n=3. For n>3, we prove Kamnitzer's conjecture. We define canonical bases in tensor products, generalizing the Mirkovic-Vilonen basis in a single representation. We prove that for any S, the set of positive integral tropical points of A(G, S) parametrise top components in a new space, surface affine Grasmannian. We view W as a potential for Landau-Ginzburg model on A(G,S). We conjecture that the pair (A(G,S), W) is the mirror dual to the moduli space of local systems on S for the Langlands dual group. In a special case, we recover Givental's description of the quantum cohomology connection for flag varieties.

研究动机与目标

• 建立 Langlands 对偶群张量积不变量的典范基与带标记曲面上 G-局部系统模空间之间的几何对应关系。
• 将 Mirković-Vilonen 基及其参数化推广至旗的混合配置和更高阶的表示 n 元组。
• 通过带势函数 W 的正模空间的热带整点，定义 V_{λ₁} ⊗ ⋯ ⊗ V_{λₙ}^{G^L} 中的典范基。
• 在空间 (A_{G,S}, W) 与曲面 S 上 G^L-局部系统模空间之间，形式化 Landau-Ginzburg 镜像对称对偶性。

提出的方法

• 在带标记曲面 S 上的 G-局部系统模空间 A_{G,S} 上引入正结构，从而定义整数热带点 A_{G,S}(Z^t)。
• 在 A_{G,S} 上定义一个有理正函数 W，其热带化 W^t 映射到 Z，并定义子集 A^+_{G,S}(Z^t)，其中 W^t ≥ 0。
• 利用几何 Satake 对应，将卷积态射纤维的顶维分量与 A^+_{G,S}(Z^t) 关联，从而参数化张量积不变量中的典范基。
• 对于 GL_m 和 n=3，证明 A^+_{GL_m,S}(Z^t) 与 Knutson-Tao 蜂窝之间存在双射，从而证明了 Kamnitzer 对 n>3 的猜想。
• 通过混合配置空间的热带点，构造广义的 Mirković-Vilonen 圈作为交集 S_e^λ ∩ S_w^μ 的分量。
• 定义一个新的 G^L-局部系统模空间 Loc_{G^L,S}，并证明 A^+_{G,S}(Z^t) 参数化 Loc_{G^L,S} 上正则函数空间中的典范基。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 G-局部系统模空间几何地参数化 G^L 的不可约表示张量积不变量中的典范基？
• RQ2 A_{G,S} 上的势函数 W 的作用是什么？其热带化如何与表示论中的整数性与正性相关联？
• RQ3 通过 A^+_{G,S}(Z^t) 参数化典范基如何推广 Kamnitzer 的蜂窝模型，并推广至 n>3 的情形？
• RQ4 能否利用旗的混合配置与正结构，构造并参数化广义的 Mirković-Vilonen 圈？
• RQ5 是否存在 (A_{G,S}, W) 与 G^L-局部系统模空间 Loc_{G^L,S} 之间的镜像对称对偶性？

主要发现

• 当 G=SL₂ 时，集合 A^+_{G,S}(Z^t) 恢复了 [FG1] 中的正整数 A-叶状结构，建立了与曲面拓扑的几何联系。
• 当 G=GL_m 且 n=3 时，集合 A^+_{GL_m,S}(Z^t) 与 Knutson-Tao 蜂窝之间存在双射，从而证明了 Kamnitzer 对 n>3 的猜想。
• 通过 A^+_{G,S}(Z^t) 参数化典范基具有循环对称性，解决了 Berenstein-Zelevinsky 原始参数化中的模糊性。
• 广义的 Mirković-Vilonen 圈由 A^+_{G,S}(Z^t) 参数化，其构造通过一个典范映射 κ 避免了显式参数化。
• A_{G,S} 上的势函数 W 被提议为 Landau-Ginzburg 超势能，且 (A_{G,S}, W) 被猜想为与 Loc_{G^L,S} 镜像对偶。
• 该构造在 Loc_{G^L,S} 上的正则函数空间中给出了一个典范基，其基元素由 A^+_{G,S}(Z^t) 索引。