[论文解读] Gromov-Witten theory of K3 x P1 and quasi-Jacobi forms

Georg Oberdieck|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

该论文解决了K3曲面$S$上$S \times \mathbb{P}^1$的相对Gromov-Witten理论在曲线类$(\beta,1)$和$(\beta,2)$的情形，证明生成系列为拟雅克比形式，并与$S$的希尔伯特 scheme 上的亏格0不变量相匹配。该工作证明了Pandharipande与作者提出的一个猜想的特例，其应用涵盖$S \times E$的Gromov-Witten不变量以及模空间上的线性霍奇积分。

ABSTRACT

Let $S$ be a K3 surface with primitive curve class $\beta$. We completely solve the relative Gromov-Witten theory of $S imes \mathbb{P}^1$ in classes $(\beta,1)$ and $(\beta,2)$. The generating series are quasi-Jacobi forms and equal to a corresponding series of genus $0$ Gromov-Witten invariants on the Hilbert scheme of $d$ points of $S$. This proves a special case of a conjecture of Pandharipande and the author. The new geometric input of the paper is a genus bound for hyperelliptic curves on K3 surfaces proven by Ciliberto and Knutsen. By exploiting various formal properties we find that a key generating series is determined by the very first few coefficients. Let $E$ be an elliptic curve. As collorary of our computations we prove that Gromov-Witten invariants of $S imes E$ in classes $(\beta,1)$ and $(\beta,2)$ are coefficients of the reciprocal of the Igusa cusp form. We also calculate several linear Hodge integrals on the moduli space of stable maps to a K3 surface and the Gromov-Witten invariants of an abelian threefold in classes of type $(1,1,d)$.

研究动机与目标

• 完全确定K3曲面$S$上$S \times \mathbb{P}^1$在曲线类$(\beta,1)$和$(\beta,2)$下的相对Gromov-Witten不变量，其中$\beta$为本原曲线类。
• 证明这些不变量的生成系列为拟雅克比形式。
• 证明Pandharipande与作者提出的关于$S \times \mathbb{P}^1$上相对不变量与$S$的希尔伯特 scheme 上亏格0不变量之间关系的猜想的一个特例。
• 计算$S \times E$在类$(\beta,1)$和$(\beta,2)$下的Gromov-Witten不变量，证明其为Igusa尖点形式倒数的系数。
• 计算稳定映射到K3曲面的模空间上的线性霍奇积分，以及阿贝尔三倍在类$(1,1,d)$下的Gromov-Witten不变量。

提出的方法

• 利用Ciliberto与Knutsen建立的K3曲面上双曲曲线的亏格界，约束稳定映射的几何结构。
• 利用生成系列的正式性质，证明关键系列由其前几项系数完全确定。
• 应用拟雅克比形式理论，刻画Gromov-Witten生成系列的结构。
• 通过几何与表示论论证，建立$S \times \mathbb{P}^1$上相对不变量与$S$的希尔伯特 scheme 上亏格0不变量之间的对应关系。
• 利用生成系列的模形式性质，推导出$S \times E$的不变量为Igusa尖点形式倒数的系数。
• 运用局部化与虚拟类技术，计算线性霍奇积分与阿贝尔三倍上的不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否相对Gromov-Witten不变量在$S \times \mathbb{P}^1$的类$(\beta,1)$和$(\beta,2)$下可由拟雅克比形式捕捉？
• RQ2 这些不变量的生成系列是否与$S$上$d$个点的希尔伯特 scheme 上的亏格0 Gromov-Witten 不变量相等？
• RQ3 $S \times E$在类$(\beta,1)$和$(\beta,2)$下的Gromov-Witten不变量是否为Igusa尖点形式倒数的系数？
• RQ4 稳定映射到K3曲面的模空间上线性霍奇积分的结构是什么？
• RQ5 $(1,1,d)$类下阿贝尔三倍的Gromov-Witten不变量是什么？

主要发现

• 在类$(\beta,1)$和$(\beta,2)$下，$S \times \mathbb{P}^1$的相对Gromov-Witten不变量的生成系列为拟雅克比形式。
• 这些生成系列等于$S$上$d$个点的希尔伯特 scheme 上对应的亏格0 Gromov-Witten 不变量，从而证实了Pandharipande与作者猜想的一个特例。
• $S \times E$在类$(\beta,1)$和$(\beta,2)$下的Gromov-Witten不变量为Igusa尖点形式倒数的系数。
• 利用生成系列的正式性质，显式计算了稳定映射到K3曲面的模空间上的线性霍奇积分。
• 通过相同框架计算了阿贝尔三倍在类$(1,1,d)$下的Gromov-Witten不变量，扩展了该方法的适用范围。
• 由于生成系列的正式性质以及双曲曲线的亏格界，关键生成系列由其前几项系数完全确定。