[论文解读] How to Sum and Exponentiate Hamiltonians in ZXW Calculus

Razin A. Shaikh, Quanlong Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2022

Quantum Mechanics and Applications参考文献 35被引用 7

一句话总结

本文提出了一种在ZXW演算中对哈密顿量进行求和与指数化的方法，实现了量子动力学的图示化推理。通过在ZX演算中引入W-蜘蛛并利用Cayley-Hamilton定理，该方法直接表示了任意哈密顿量、泰勒展开式以及Trotter化的时间演化，使得精确与近似单位演化图可被重写为适用于量子化学与凝聚态物理的量子线路。

ABSTRACT

This paper develops practical summation techniques in ZXW calculus to reason about quantum dynamics, such as unitary time evolution. First we give a direct representation of a wide class of sums of linear operators, including arbitrary qubits Hamiltonians, in ZXW calculus. As an application, we demonstrate the linearity of the Schroedinger equation and give a diagrammatic representation of the Hamiltonian in Greene-Diniz et al, which is the first paper that models carbon capture using quantum computing. We then use the Cayley-Hamilton theorem to show in principle how to exponentiate arbitrary qubits Hamiltonians in ZXW calculus. Finally, we develop practical techniques and show how to do Taylor expansion and Trotterization diagrammatically for Hamiltonian simulation. This sets up the framework for using ZXW calculus to the problems in quantum chemistry and condensed matter physics.

研究动机与目标

• 为解决在量子模拟中对表示线性算子（特别是哈密顿量）的ZX图进行高效求和的缺乏有效技术的问题。
• 实现任意哈密顿量（包括碳捕集等实际问题中的哈密顿量）作为泡利算符之和的直接图示表示。
• 在ZXW演算中开发基于泰勒展开与Trotter化的方法，实现哈密顿量的指数化。
• 通过图示化单位演化建立ZXW演算在量子化学与凝聚态物理中应用的基础。
• 利用重写规则实现从哈密顿量演化图到可执行量子线路的转换。

提出的方法

• 引入ZXW演算作为ZX演算的扩展，通过引入W-蜘蛛，实现对矩阵与向量之和的紧凑高效表示。
• 利用受控态与修改后的生成元，直接表示线性算子之和，包括任意量子比特哈密顿量。
• 应用Cayley-Hamilton定理，将哈密顿量的指数表示为H的多项式，实现精确的图示化指数化。
• 通过截断级数实现指数映射的泰勒展开，并将每一项表示为带有系数的ZXW图。
• 利用Trotter-Suzuki公式将非交换哈密顿量分解为顺序时间演化算符，近似完整演化。
• 利用现有的ZXW重写规则，对所得图进行简化与变换，转化为物理量子线路。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在类似ZXW的图示演算中高效表示任意线性算子（如哈密顿量）的和？
• RQ2 Cayley-Hamilton定理是否可用于在ZXW演算中构建哈密顿量的精确图示指数？
• RQ3 泰勒展开与Trotter化如何在ZXW框架中形式化，以实现近似哈密顿量模拟？
• RQ4 ZXW演算是否可用于推导真实哈密顿量（如量子化学中的）时间演化算符的量子线路？
• RQ5 ZXW演算中的加法、指数化与微分运算在多大程度上保持了矩阵代数的直观结构？

主要发现

• 本文在ZXW演算中为任意2m×2m矩阵与2m维向量之和提供了直接的图示表示，支持薛定谔方程的线性推理。
• 首次在图示中表示了Greene-Diniz等人[13]用于量子碳捕集的哈密顿量，验证了其在真实量子化学问题中的适用性。
• 利用Cayley-Hamilton定理，本文构建了任意哈密顿量指数的精确图示，表示为H的多项式，尽管系数计算具有指数复杂度。
• 时间演化算符的泰勒展开被实现为有限项的ZXW图，其系数对应于级数项，支持低阶近似。
• 通过将哈密顿量分解为可交换项并应用Trotter-Suzuki公式，实现了Trotter化，所得图近似完整演化，误差为O(t²/n)。
• 本文展示了从哈密顿量指数图到物理量子线路的完整重写路径，如示例7.1所示，利用ZXW规则推导出参数化的单量子比特与双量子比特门分解。