[论文解读] Improved Algorithmic Bounds for Discrepancy of Sparse Set Systems

Nikhil Bansal, Shashwat Garg|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2016

Mathematical Approximation and Integration参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法方法，用于稀疏集合系统中的低差异着色，其中每个元素最多出现在 $ t $ 个集合中。通过利用带有自适应重加权和基于阶段的大小缩减的加权随机游走框架，该方法实现了 $ O((tackepsilon ext{log} nackepsilon ext{log} s)^{1/2}) $ 的差异界，显著优于先前的 $ O(t^{1/2} ext{log} n) $ 算法界，并接近 Banaszczyk 对于大集合（$ s = \textrm{poly}(t) $）的非构造性 $ O((tackepsilon ext{log} n)^{1/2}) $ 界。

ABSTRACT

We consider the problem of finding a low discrepancy coloring for sparse set systems where each element lies in at most $t$ sets. We give an algorithm that finds a coloring with discrepancy $O((t \log n \log s)^{1/2})$ where $s$ is the maximum cardinality of a set. This improves upon the previous constructive bound of $O(t^{1/2} \log n)$ based on algorithmic variants of the partial coloring method, and for small $s$ (e.g.$s= extrm{poly}(t)$) comes close to the non-constructive $O((t \log n)^{1/2})$ bound due to Banaszczyk. Previously, no algorithmic results better than $O(t^{1/2}\log n)$ were known even for $s = O(t^2)$. Our method is quite robust and we give several refinements and extensions. For example, the coloring we obtain satisfies the stronger size-sensitive property that each set $S$ in the set system incurs an $O((t \log n \log |S|)^{1/2})$ discrepancy. Another variant can be used to essentially match Banaszczyk's bound for a wide class of instances even where $s$ is arbitrarily large. Finally, these results also extend directly to the more general Komlós setting.

研究动机与目标

• 弥合稀疏集合系统中最大度数为 $ t $ 时，非构造性差异界与算法保证之间的差距。
• 改进稀疏集合系统中 Beck-Fiala 问题的先前算法界 $ O(t^{1/2}\text{log} n) $。
• 实现接近最优的差异界，使其与 Banaszczyk 对于多项式大小集合（$ s = \textrm{poly}(t) $）的非构造性结果相匹配。
• 开发一个稳健的框架，支持对不同集合大小的敏感差异控制与自适应调节。
• 将该方法扩展至 Komlós 设置，并在一般集合系统中获得改进的保证。

提出的方法

• 使用基于阶段的随机游走算法，每个阶段通过迭代着色步骤将集合大小减少常数倍。
• 算法对关联矩阵中的行实施自适应重加权，以控制 $ \ell_2 $-范数，并改善大集合的差异界。
• 关键组件是利用各阶段的集中不等式和联合界，确保所有集合的高概率差异控制。
• 该方法应用加权差异分析，通过缩放因子将重加权系统中的界转换回原始系统。
• 采用大小分类方案，按大小将集合分组（$ [t2^{i-1}, t2^i) $），以对每类应用定制权重和界。
• 算法丢弃大小低于阈值 $ O((tackepsilon ext{log} n)^{1/2}) $ 的集合，因为它们带来的额外差异可忽略。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于最大集合大小 $ s $ 的一般情况，是否可以将 $ t $-稀疏集合系统的算法差异界改进至超过 $ O(t^{1/2}\text{log} n) $？
• RQ2 该算法方法能否在 $ s = \textrm{poly}(t) $ 时匹配 Banaszczyk 的非构造性 $ O((tackepsilon ext{log} n)^{1/2}) $ 界？
• RQ3 该方法能否扩展以处理 Komlós 设置并获得改进的保证？
• RQ4 对关联矩阵中行的自适应重加权是否能带来更紧致、与大小相关的差异界？
• RQ5 是否可能在保持效率和高概率保证的同时，实现接近最优的差异？

主要发现

• 该算法在 $ t $-稀疏集合系统中实现了 $ O((tackepsilon ext{log} nackepsilon ext{log} s)^{1/2}) $ 的差异界，优于先前的 $ O(t^{1/2}\text{log} n) $ 算法界。
• 对于大小 $ s = \textrm{poly}(t) $ 的集合，该界变为 $ \tilde{O}((tackepsilon ext{log} n)^{1/2}) $，在 $ \textrm{poly}(\text{log}\text{log} n) $ 因子范围内与 Banaszczyk 的非构造性结果一致。
• 该方法提供了与大小相关的差异保证：每个集合 $ S $ 的差异为 $ O((tackepsilon ext{log} nackepsilon\text{log}|S|)^{1/2}) $，对较小集合的差异改善更明显。
• 通过自适应重加权，当重加权系统中列的 $ \ell_2 $-范数有界时，该算法对所有集合实现了 $ O((tackepsilon ext{log} n)^{1/2}) $ 的差异。
• 该框架可扩展至 Komlós 设置，在广泛实例类中提供了与已知非构造性界一致的算法保证。
• 该算法以至少 $ 1 - 1/\log n $ 的高概率成功，利用阶段内集中性和联合界实现。