[论文解读] Incomplete traction boundary conditions in the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin indeterminate couple stress model

Angela Madeo, Ionel‐Dumitrel Ghiba+2 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2015

Nonlocal and gradient elasticity in micro/nano structures参考文献 64被引用 7

一句话总结

本文识别并修正了Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin不定微平面应力模型中牵引边界条件的不一致问题，证明了从应变梯度模型简化而来的传统方法无法为该特定模型提供正确的边界条件。本文首次提出了完整且一致的牵引边界条件集合，包括几何边界条件，解决了文献中长期存在的模糊性问题。

ABSTRACT

In this paper we consider the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin linear isotropic indeterminate couple stress model. Our main aim is to show that, up to now, the traction boundary conditions have not been completely stated for this model. As it turns out, and to our own surprise, restricting the well known boundary conditions stemming from the strain gradient models to the particular case of the indeterminate couple stress model, does not reduce to the Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin set of accepted boundary conditions. We present therefore, for the first time, the complete, correct set of traction boundary conditions, the geometric ones being already consistent with our formulation.

研究动机与目标

• 识别并解决此前用于Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin不定微平面应力模型的牵引边界条件中的不一致问题。
• 阐明为何从应变梯度模型出发的标准简化方法无法为该特定不定微平面应力公式产生正确的边界条件。
• 为该模型建立一套完整且几何一致的牵引边界条件集合，纠正文献中长期存在的疏漏。
• 确保边界条件与模型的变分结构及基本本构假设完全兼容。

提出的方法

• 通过不定微平面应力模型的变分公式推导出正确的牵引边界条件。
• 将从应变梯度模型推导出的边界条件与Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin模型所要求的边界条件进行比较，以揭示其中的不一致。
• 识别出必须与牵引条件一致包含的几何边界条件。
• 利用虚功原理及其相应的弱形式推导出必要的边界条件。
• 以保持模型不定性质的方式表述边界条件，确保与本构方程的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何从应变梯度模型推导出的标准牵引边界条件无法正确简化为Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin模型？
• RQ2 Grioli、Koiter、Mindlin和Toupin所提出的不定微平面应力模型的完整且正确的牵引边界条件集合是什么？
• RQ3 如何在该模型中一致地整合几何边界条件与牵引条件？
• RQ4 变分结构在确定该不定系统正确边界条件中起到什么作用？

主要发现

• 从应变梯度模型推导出的标准牵引边界条件无法正确简化为Grioli-Koiter-Mindlin-Toupin不定微平面应力模型的正确集合。
• 本文首次推导出了一套全新的、完整且一致的牵引边界条件集合，解决了文献中长期存在的不一致问题。
• 发现几何边界条件至关重要，必须与牵引条件在公式中一致地包含。
• 所推导的边界条件与不定微平面应力模型的变分结构及本构假设完全兼容。